Fracții

Împărțirea fracțiilor

Pentru a înțelege împărțirea fracțiilor ne ajută să știm ce este inversul unui număr .

Inversul unui număr nenul a este \(\frac{1}{a}\)

Astfel, împărțirea a două numere naturale devine o înmulțire.

Inversul unei fracții · \(\frac{a}{b}\) este fracția \(\frac{b}{a}\) ; a,b ≠ 0.

Astfel, împărțirea a două fracții dintre care a doua diferită de zero, este egal cu produsul dintre prima fracție și inversul celei de-a doua.

1. Calculați rezultatul împărțirilor:
‎ \(\frac{5}{7}\) : \(\frac{5}{2}\);

\(\frac{81}{6}\) : \(\frac{9}{2}\);

Rezolvare

\(\frac{5}{7}\) : \(\frac{5}{2}\) = \(\frac{5}{7}\) · \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{2}{7}\)
‎
‎ \(\frac{81}{6}\) : \(\frac{9}{2}\) = \(\frac{81}{6}\) · \(\frac{2}{9}\) =
‎
‎ = \(\frac{81·2}{6·9}\) = \(\frac{9·2}{6}\) = \(\frac{9}{3}\) = 3

2. Calculați, respectând ordinea operațiilor: \(\frac{14}{3}\) : \(\frac{5}{2}\) + \(\frac{12}{3}\) – \(\frac{17}{5}\) · \(\frac{2}{4}\)

Rezolvare

\(\frac{14}{3}\) : \(\frac{5}{2}\) + \({\frac{12}{3}}\) – \(\frac{17}{5}\) · \(\frac{2}{4}\) =
‎
‎ \(\frac{14}{3}\) · \(\frac{2}{5}\) + \({\frac{4}{1}}\) – \(\frac{17}{5}\) · \(\frac{1}{2}\) =
‎
‎ \(\frac{14 · 2}{3 · 5}\) + 4 – \(\frac{17}{10}\) = \(\frac{28}{15}\) + 4 – \(\frac{17}{10}\) =
‎
‎ \(^{^{2)}}{\frac{28}{15}}\) + \(^{^{30)}}{\frac{4}{1}}\) – \(^{^{3)}}{\frac{17}{10}}\) =
‎
‎ \({\frac{56}{30}}\) + \({\frac{120}{30}}\) – \({\frac{51}{30}}\) = \({\frac{125}{30}}\) =
‎
‎ \({\frac{25}{6}}\)

3. Comparați fracțiile obținute după înmulțirea \(\frac{16}{3} · \frac{4}{6} \) , respectiv împărțirea \(\frac{25}{3} : \frac{5}{12}\)

Rezolvare

\(\frac{16}{3} · \frac{4}{6} \) = \(\frac{16·4}{3·6} = \frac{16·2}{3·3} = \frac{32}{9} = 3{\frac{5}{9}}\)
‎
‎ \(\frac{25}{3} : \frac{5}{12} \) = \(\frac{25}{3} ·\frac{12}{5} = \frac{25·12}{3·5} = {\frac{5·4}{1}}\) = 20
‎
‎ \(3{\frac{5}{9}}\) < 20

4. Într-un recipient sunt \(\frac{12}{5}\) litri de vopsea. Câte sticluțe de 400ml de vopsea se pot umple de aici?

Rezolvare

Sticluțele au capacitatea de 400ml adică \(\frac{4}{10}\) dintr-un litru. Trebuie să vedem de câte ori se cuprinde \(\frac{4}{10}\) în \(\frac{12}{5}\). Trebuie să efectuăm împărțirea celor două fracții.
‎
‎ \(\frac{12}{5}\) : \(\frac{4}{10}\) = \(\frac{12}{5}\) · \(\frac{10}{4}\) =
‎
‎ \(\frac{12}{5}\) · \(\frac{5}{2}\) = \(\frac{12}{2}\) = 6 sticluțe

5. Scrieți sub formă de fracție ireductibilă :

Rezolvare

6. Calculați : \(\frac{\frac{2}{3} + \frac{5}{6}}{7}\).

Rezolvare

\(\frac{\frac{2}{3} + \frac{5}{6}}{7}\) = \(\frac{\frac{4}{6} + \frac{5}{6}}{7}\) = \(\frac{\frac{9}{6}}{7}\) = \(\frac{9}{6}\) · \(\frac{1}{7}\) = \(\frac{3}{2}\) · \(\frac{1}{7}\) = \(\frac{3}{14}\)

7. Calculați:

a) \((\frac{25}{6} : \frac{5}{3}) : \frac{15}{9}\)

b) \((\frac{16}{49} : \frac{3}{7}) : \frac{24}{14}\)

c) \(\frac{12}{14} : (\frac{48}{13} : \frac{56}{39})\)

d) \((\frac{9}{24} : \frac{15}{6}) : (\frac{45}{32} : \frac{15}{4})\)

Rezolvare

a) \((\frac{25}{6} : \frac{5}{3}) : \frac{15}{9}\) = \((\frac{25}{6} · \frac{3}{5}) : \frac{15}{9}\) =

=\(\frac{25·3}{6·5} : \frac{15}{9}\) = \(\frac{5}{2} : \frac{15}{9}\) = \(\frac{5}{2} · \frac{9}{15}\) =

=\(\frac{5·9}{2·15}\)=\(\frac{1·9}{2·3}\)=\(\frac{1·3}{2·1}\)=\(\frac{3}{2}\)

b) \((\frac{16}{49} : \frac{3}{7}) : \frac{24}{14}\)= \((\frac{16}{49} · \frac{7}{3}) : \frac{24}{14}\) =

=\(\frac{16·7}{49·3}:\frac{24}{14}\)=\(\frac{16}{21}:\frac{24}{14}\)=\(\frac{16}{21}·\frac{14}{24}\) =

=\(\frac{16·14}{21·24}\)=\(\frac{2·2}{3·3}\)=\(\frac{4}{9}\)

c) \(\frac{12}{14}:(\frac{48}{13}:\frac{56}{39})\)=\(\frac{12}{14}:(\frac{48}{13}·\frac{39}{56})\) =

=\(\frac{12}{14}:\frac{48·39}{13·56}\) = \(\frac{12}{14} : \frac{6·3}{1·7}\) = \(\frac{12}{14} · \frac{7}{6·3}\) =

=\(\frac{12·7}{14·6·3}\)=\(\frac{2·1}{2·1·3}\)=\(\frac{1·1}{1·1·3}\)=\(\frac{1}{3}\)

d) \((\frac{9}{24} : \frac{15}{6}) : (\frac{45}{32} : \frac{15}{4})\) = \((\frac{9}{24} · \frac{6}{15}) : (\frac{45}{32} · \frac{4}{15})\)=

= \(\frac{9·6}{24·15} : \frac{45·4}{32·15}\)=\(\frac{3·1}{4·5} : \frac{3·1}{8·1}\) =

=\(\frac{3}{4·5} · \frac{8}{3}\) = \(\frac{3·8}{4·5·3}\) = \(\frac{1·2}{1·5·1}\)= \(\frac{2}{5}\)

8. Calculați:

a)

Rezolvare

9. Calculați, știind că x este un număr natural nenul:

a) \(\frac{x}{9} : \frac{x}{18}\)

b) \(\frac{x}{25} : \frac{x}{15}\)

c) \(\frac{7x}{14} : \frac{x}{12}\)

Rezolvare

a)\(\frac{x}{9} : \frac{x}{18}\) = \(\frac{x}{9} · \frac{18}{x}\) = \(\frac{x·18}{9·x}\) =

= \(\frac{1·2}{1·1}\) = 2

b) \(\frac{x}{25} : \frac{x}{15}\) = \(\frac{x}{25} · \frac{15}{x}\) = \(\frac{x·15}{25·x}\) =

= \(\frac{1·3}{5·1}\) = \(\frac{3}{5}\)

c) \(\frac{7x}{14} : \frac{x}{12}\) = \(\frac{7x}{14} · \frac{12}{x}\) = \(\frac{7x·12}{14·x}\) =

= \(\frac{1·1·12}{2·1}\) = \(\frac{12}{2}\) = 6