Fracții ordinare Puterile fracțiilor
Selecție de lecții videoFracții
Puterile fracțiilor
Puterea este o înmulțire repetată.
Ordinea operațiilor
Ridicarea la putere se realizează înainte de înmulțire sau împărțire.
Reguli de calcul cu puteri
Regulile de calcul cu puteri ale numerelor naturale se mențin și la fracții.
1. Ridicați la pătrat următoarele fracții: \(\frac{2}{3}, \frac{6}{7}\) .
\({\frac{2}{3}}^2 = \frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}\)
\({\frac{6}{7}}^2 = \frac{6^2}{7^2}=\frac{36}{49}\)
2. Calculați: \({(\frac{2}{3})}^2 · ({\frac{1}{4}} + {\frac{3}{2}})^{^{3}}\)
\({(\frac{2}{3})}^2 · ({\frac{1}{4}} + {\frac{3}{2}})^{^{3}}\) =
\(\frac{2^2}{3^2} · ({\frac{1}{4}} + {\frac{6}{4}})^{^{3}}\) = \(\frac{4}{9} · ({\frac{7}{4}})^{^{3}}\) =
\(\frac{4}{9} · \frac{7^3}{4^3}\) = \(\frac{4}{9} · \frac{343}{64}\) = \(\frac{1372}{576}\)
3. Scrieți expresia ca o putere a lui 5: \(\frac{5^8 · (5^{-2})^3}{5^3 · 5^{-10}}\) =
\(\frac{5^8 · (5^{-2})^3}{5^3 · 5^{-10}}\) =
= \(\frac{5^8 · 5^{-6}}{5^{-7}}\) = \(\frac{5^2}{5^{-7}}\) = \(5^9\)
4. Scrieți expresia ca o putere a lui 2: \(10^2 · 25^{-3} · 20^4\) =
\(10^2 – 25^{-3} · 20^4\) = \(\frac{10^2 · 20^4}{25^3}\) = \(\frac{(2·5)^2 · (2^2·5)^4}{(5^2)^3}\) =
= \(\frac{2^2 · 5^2 · 2^8 · 5^4}{5^6}\) = \(\frac{2^{10}·5^6}{5^6}\) = \(2^{10}\)
5. Folosind regulile de calcul cu puteri, calculați :
a) \(({\frac{3}{4}})^2 · ({\frac{2}{9}})^3\)
b) \(({\frac{2}{11}})^5 · ({\frac{33}{4}})^5\)
c) \([(\frac{6}{8})^2]^3\)
a) \(({\frac{3}{4}})^2 · ({\frac{2}{9}})^3\) = \({\frac{3^2}{4^2}} · {\frac{2^3}{9^3}}\) =
= \({\frac{3^2 · 2^3}{4^2 · 9^3}}\) = \({\frac{9 · 8}{16 · 729}}\) = \({\frac{1 · 1}{2 · 81}}\) =
=\(\frac{1}{162}\)
b) \(({\frac{2}{11}})^5 · ({\frac{33}{4}})^5\) = \(({\frac{2}{11} · \frac{33}{4}})^5\) =
=\(({\frac{2 · 33}{11 · 4})}^5\) = \(({\frac{1 · 3}{1 · 2})}^5\) = \(\frac{3^5}{2^5}\) = \(\frac{243}{32}\)
c) \([(\frac{6}{9})^2]^3 = ({\frac{2}{3}})^{2 · 3} = \frac{2^6}{3^6} = \frac{64}{729}\)
6. Care dintre numerele următoare se pot scrie ca puteri cu baza \(\frac{1}{3}\)?
1, \(\frac{3}{27}\), \(\frac{1}{9}\), \(\frac{5}{243}\), \(\frac{1}{81}\)
1 = \({(\frac{1}{3}})^0\)
\(\frac{1}{9}\) = \(\frac{1}{3^2}\) = \({(\frac{1}{3}})^2\)
\(\frac{1}{81}\) = \(\frac{1}{3^4}\) = \({(\frac{1}{3}})^4\)
7. Determinați numărul natural n, pentru care:
a) \(({\frac{4}{5}})^n\) = \(\frac{16}{25}\)
b) \(({\frac{7}{3}})^n\) = \(\frac{343}{27}\)
c) \(({2\frac{5}{2}})^n\) = \(\frac{81}{4}\)
d) \(({\frac{1}{9}})^n\) = \(\frac{1}{3^4}\)
a) \(({\frac{4}{5}})^2\) = \(\frac{16}{25}\) => n = 2
b) \(({\frac{7}{3}})^3\) = \(\frac{343}{27}\) => n = 3
c) Mai întâi, trebuie să introducem întregii în fracție.
\(2\frac{5}{2} = \frac{9}{2}\) \(({\frac{9}{2}})^2\) = \(\frac{81}{4}\) => n = 2
d) \(({\frac{1}{9}})^n\) = \(\frac{1}{3^4}\)
\(\frac{1}{(3^2)^n}\) = \(\frac{1}{3^4}\)
\(\frac{1}{(3^2)^2}\) = \(\frac{1}{3^4}\) => n = 2
8. Scrieți fiecare număr ca putere cu baza indicată:
a) \(\frac{49}{100}\) cu baza \(\frac{7}{10}\)
b) \(\frac{1}{625}\) cu baza \(\frac{1}{5}\)
c) \(\frac{1024}{243}\) cu baza \(\frac{4}{3}\)
d) 1 cu baza \(\frac{5}{13}\)
a) \(\frac{49}{100}\) = \(({\frac{7}{10}})^2\)
b) \(\frac{1}{625}\) = \(({\frac{1}{5}})^4\)
c) \(\frac{1024}{243}\) = \(({\frac{4}{3}})^5\)
d) 1 = \(({\frac{5}{13}})^0\)
9. Scrieți ca puteri ce au aceeași bază:
a) \(({\frac{9}{16}})^4\) și \(({\frac{27}{64}})^5\)
b) \(({\frac{8}{125}})^{13}\) și \(({\frac{4}{25}})^{16}\)
c) \(({\frac{1}{81}})^7\) și \(({\frac{1}{243}})^5\)
a) \(({\frac{9}{16}})^4\) și \(({\frac{27}{64}})^5\)
Observăm că ambele fracții au puteri ale lui 3 la numărător și puteri ale lui 4 la numitor. Astfel, decidem să scriem ambele fracții ca puteri ale fracției \(\frac{3}{4}\).
\(({\frac{9}{16}})^4\) = \(({\frac{3^2}{4^2}})^4\) = \([({\frac{3}{4}})^2]^4\) = \(({\frac{3}{4}})^8\)
\(({\frac{27}{64}})^5\) = \(({\frac{3^3}{4^3}})^5 = [({\frac{3}{4}})^3]^5 = ({\frac{3}{4}})^{15}\)
b) \(({\frac{8}{125}})^{13}\) și \(({\frac{4}{25}})^{16}\)
Observăm că ambele fracții au puteri ale lui 2 la numărător și puteri ale lui 5 la numitor. Astfel, decidem să scriem ambele fracții ca puteri ale fracției \(\frac{2}{5}\).
\(({\frac{8}{125}})^{13}\) = \(({\frac{2^3}{5^3}})^{13}\) = \([({\frac{2}{5}})^3]^{13}\) = \(({\frac{2}{5}})^{39}\)
\(({\frac{4}{25}})^{16}\) = \(({\frac{2^2}{5^2}})^{16} = [({\frac{2}{5}})^2]^{16} = ({\frac{2}{5}})^{32}\)
c) \(({\frac{1}{81}})^7\) și \(({\frac{1}{243}})^5\)
Observăm că ambele fracții au la numitor, puteri ale lui 3. La numărător nu ne mai interesează la ce putere va fi 1, astfel încât 1 la orice putere va da tot 1.
Astfel vom alege să scriem fracțiile ca puteri ale lui \(\frac{1}{3}\).
\(({\frac{1}{81}})^7\) = \(({\frac{1}{3^4}})^7\) = \([({\frac{1}{3}})^4]^7\) = \(({\frac{1}{3}})^{28}\)
\(({\frac{1}{243}})^5\) = \(({\frac{1}{3^5}})^5 = [({\frac{1}{3}})^5]^5 = ({\frac{1}{3}})^{25}\)
