Fracții ordinare Înmulțirea fracțiilor
Selecție de lecții videoFracții
Înmulțirea fracțiilor
Produsul unei fracții cu un număr natural
Înmulțirea fracției cu un număr natural se face înmulțind numărul cu numărătorul fracției.
Exemplu 1 :
O jumătate luată de trei ori face trei jumătăți.
Exemplu 2 :
Cum împărțim 120 lei la trei pesoane? Cât este o treime din 120?
Produsul unei fracții cu o altă fracție
Pentru a efectua produsul a două fracții, înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei.
Exemplul 3 :
Cât este jumătate din jumătate de măr?
Răspuns: un sfert de măr.
Exemplul 4 :
Exemplul 5 :
Sau, mai simplu, simplificăm direct factorul 2 din produsul neefectuat.
Ordinea operațiilor
Înmulțirea și împărțirea se realizează înainte de adunare și scădere.
1. Calculați și scrieți rezultatul în forma ireductibilă:
\(\frac{26}{7} · \frac{1}{3}\)
\(\frac{54}{3} · \frac{8}{4}\)
\(\frac{18}{6} · \frac{3}{2}\)
\(\frac{3}{14} · \frac{22}{15}\)
\(\frac{7}{2} + \frac{15}{6} · \frac{7}{25}\)
\(\frac{26}{7} · \frac{1}{3}\) = \(\frac{26 · 1}{7 · 3}\) = \(\frac{26}{21}\)
\({\frac{54}{3}}^{^{3}} · {\frac{8}{4}}^{^{4}}\) = 18 · 2 = 36
\({\frac{18}{6}}^{^{6}} · \frac{3}{2}\) = \(3 · \frac{3}{2}\) = \(\frac{9}{2}\)
\(\frac{3}{14} · \frac{22}{15}\) = \(\frac{3·22}{14·15}\) = \(\frac{3·2·11}{2·7·3·5}\) = \(\frac{11}{7·5}\) = \(\frac{11}{35}\)
\(\frac{7}{2} + \frac{15}{6} · \frac{7}{25}\) = \(\frac{7}{2} + \frac{3}{6}^{^{6}} · \frac{7}{5}\) = \(\frac{7}{2} + \frac{1}{2} · \frac{7}{5}\) = \(\frac{7}{2} + \frac{7}{10}\) = \(\frac{35}{10} + \frac{7}{10}\) = \(\frac{42}{10}\) = \(\frac{21}{5}\)
2. Cât este o treime dintr-o optime? Dar o jumătate din cinci treimi?
\(\frac{1}{3} · \frac{1}{8} = \frac{1}{24}\)
\(\frac{1}{2} · \frac{5}{3} = \frac{5}{6}\)
3. Fie numărul A = \(\frac{5}{7}\) + \(\frac{5}{7}\) · (5 + \(\frac{15}{4}\))
Găsiți numărul A sub forma unei fracții ireductibile.
\(\frac{5}{7}\) + \(\frac{5}{7}\) · (5 + \(\frac{15}{4}\)) = \(\frac{5}{7}\) + \(\frac{5}{7}\) · (\(\frac{20}{4}\) + \(\frac{15}{4}\)) = \(\frac{5}{7}\) + \(\frac{5}{7}\) · \(\frac{35}{4}\) =
\(\frac{5}{7}\) + \(\frac{5}{7}\) · \(\frac{5·7}{4}\) = \(\frac{5·4}{7·4}\) + \(\frac{25·7}{7·4}\) = \(\frac{20}{7·4}\) + \(\frac{175}{7·4}\) = \(\frac{195}{28}\)
4. Mihai a parcurs cu bicicleta 108 km din drumul înspre mare, iar George de \(\frac{13}{3}\) ori mai mult. Să se afle cât a parcurs George.
\(\frac{13}{3} · 108 = {\frac{13 · 108}{3}}^{^{(3}}\) = 13 · 36 = 468 km
5. Dacă Marin a strâns 50% din suma necesară pentru a își cumpăra o bicicletă, iar aceasta este egală cu produsul fracțiilor \(\frac{240}{2} · \frac{10}{2}\), să se afle cât costă bicicleta.
\(\frac{240}{2} · \frac{10}{2}\) = 120 · 5 = 600 lei
2 · 600 = 1200 lei care este prețul bicicletei.
6. Mama a cheltuit \(\frac{1}{8}\) din banii pe care îi avea pe morcovi, \(\frac{2}{7}\) din rest pe ceapă și \(\frac{1}{3}\) din noul rest pe cartofi. Cați bani a avut în total dacă la final i-au rămas 40 de lei.
40 lei reprezintă
\(\frac{2}{3}\)
din banii rămași înainte să cumpere cartofi, deci suma aceea este egală cu 60 de lei.
60 de lei reprezintă
\(\frac{5}{7}\)
din banii pe care îi avea înainte de a lua ceapă. Asta înseamnă că înainte să cumpere ceapă avea 84 de lei. Această sumă reprezintă
\(\frac{7}{8}\)
din suma totală, care este egală cu 96 de lei
7. Calculați : \(\frac{3}{7}(\frac{5}{2} – \frac{4}{3}) + \frac{1}{7} = \)
\(\frac{3}{7}(^{^{3)}}\frac{5}{2} – ^{^{2)}}\frac{4}{3}) + \frac{1}{7} = \)
\(\frac{3}{7}(\frac{15}{6} – \frac{8}{6}) + \frac{1}{7} = \)
\(\frac{3}{7} · \frac{7}{6} + \frac{1}{7} = \)
\(^{^{7)}}\frac{3}{6} + ^{^{6)}}\frac{1}{7} = \)
\(\frac{21}{42} + \frac{6}{42} = {\frac{27}{42}}^{^{(3}} = \frac{9}{14}\)
8. Cât este 8 – 8 · \(\frac{2}{3}\) ?
8 – 8 · \(\frac{2}{3}\) = 8 ( 1 – \(\frac{2}{3}\)) = 8 · \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{8}{3}\)
Altfel spus: 8 minus două treimi din 8 este o treime din 8.
9. Care dintre următoarele produse sunt mai mici decât 12?
a) 3 \(\frac{3}{2}\) · 5 \(\frac{4}{3}\)
b) 4 \(\frac{3}{7}\) · 2 \(\frac{1}{3}\)
c) 6 \(\frac{3}{5}\) · 3 \(\frac{1}{4}\)
d) 3 · \(\frac{5}{3}\) · 7 \(\frac{2}{5}\)
Înainte de înmulțire trebuie să introducem întregii în fracție.
a) 3 \(\frac{3}{2}\) · 5 \(\frac{4}{3}\) = \(\frac{9}{2}\) · \(\frac{19}{3}\) = \(\frac{9 · 19}{2 · 3}\) = \(\frac{3 · 19}{2}\) = \(\frac{171}{2}\)
Cum 12 = \(\frac{24}{2}\) și \(\frac{171}{2}\) > \(\frac{24}{2}\), rezultă că înmulțirea este mai mare decât 12.
b) 4 \(\frac{3}{7}\) · 2 \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{31}{7}\) · \(\frac{7}{3}\) = \(\frac{31 · 7}{7 · 3}\) = \(\frac{31}{3}\)
Cum 12 = \(\frac{36}{3}\) și \(\frac{31}{3}\) < \(\frac{36}{3}\), rezultă că înmulțirea este mai mică decât 12.
c) 6 \(\frac{3}{5}\) · 5 \(\frac{2}{2}\) = \(\frac{33}{5}\) · \(\frac{12}{4}\) = \(\frac{33 · 12}{5 · 4}\) = \(\frac{33 · 3}{5}\) = \(\frac{99}{5}\)
Cum 12 = \(\frac{60}{5}\) și \(\frac{99}{5}\) > \(\frac{60}{5}\), rezultă că înmulțirea este mai mare decât 12.
d) 3 · \(\frac{5}{3}\) · 7 \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{3 · 5}{3}\) · \(\frac{37}{5}\) = \(\frac{3 · 5 · 37}{3 · 5}\) = \(calculați\frac{37}{1}\) = 37
Cum 37 > 12, rezultă că înmulțirea este mai mare decât 12.
10. Fie numerele raționale a, b, c. Calculați, utilizând factorul comun :
a ) a · (b+c), dacă a · b = \(\frac{4}{9}\) și a · c = \(\frac{3}{9}\)
b) (c - a) · b, dacă b · a =\(\frac{6}{10}\) și b · c = \(\frac{12}{5}\)
c) 4 · [(a+b) · c] · a, dacă c · b = \(\frac{7}{8}\) și a · c = \(\frac{3}{2}\) și a = \(\frac{3}{2}\)
a) a · (b+c) = a · b + a · c = \(\frac{4}{9}\) + \(\frac{3}{9}\) = \(\frac{7}{9}\)
b) (c - a) · b = b · c - b · a = \(\frac{12}{5}\) - \(\frac{6}{10}\) = \(\frac{12}{5} - {\frac{6}{10}}^{(2}\) = \(\frac{12}{5}\) - \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{9}{5}\)
c) 4 · [(a+b) · c] · a = 4 · (c · a + c · b) · a = 4 · (\(\frac{3}{2}\) + \(\frac{7}{8}\)) · \(\frac{3}{2}\) = 4 · (\(^{^{4)}}\frac{3}{2} + \frac{7}{8}\)) · \(\frac{3}{2}\) = 4 · (\(\frac{12}{8} + \frac{7}{8}\)) · \(\frac{3}{2}\) =
= 4 · \(\frac{19}{8}\) · \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{4 · 19 · 3}{8 · 2}\) = \(\frac{19 · 3}{2 · 2}\) = \(\frac{57}{4}\)
