Fracții

Cel mai mic multiplu comun (cmmmc)

Cel mai mic multiplu comun a două numere naturale nenule este cel mai mic număr natural, diferit de zero, care se divide cu cele două numere.

Cel mai mic multiplu a două numere se poate nota cu :

- acronimul c.m.m.m.c. dintre a și b sau uneori cmmmc dintre a și b
‎ - sau [a, b]

Două numere pot avea mai mulți multiplii comuni nenuli :

M ₂ = 0, 2, 4, 6 , 8, 10, 12 , 14, 16, 18 , 20, 22, 24, ...
‎ M ₃ = 0, 3, 6 , 9, 12 , 15, 18 , 21, 24 , 27, ...
‎ Multiplii comuni dintre 2 și 3 sunt : 6 , 12, 18, 24 , ...
‎ Cel mai mic multiplu comun dintre 2 și 3 este 6.
‎ [2, 3] = 6

M ₆ = 0, 6, 12, 18, 24, 30 , 36, 42, 48, 54, 60 , 66, 72, ...
‎ M ₁₀ = 0, 10, 20, 30 , 40, 50, 60 , 70, 80, 90, ...
‎ Multiplii comuni dintre 6 și 10 sunt : 30 , 60, ...
‎ Cel mai mic multiplu comun dintre 6 și 10 este 30.
‎ [6, 10] = 30

Dacă două numere nu au divizori comuni mai mari decât 1 atunci cel mai mic multiplu comun al lor este produsul celor două numere.

Exemplu :
‎ cmmmc dintre 2 și 3 este 6 = 2 · 3 pentru că 2 și 3 nu au divizori comuni > 1
‎ cmmmc dintre 4 și 9 este 36 = 4 · 9 pentru că 4 și 9 nu au divizori comuni > 1

Dar dacă se dau numere care au divizori comuni atunci:
‎ cmmmc dintre 6 și 8 este 24
‎ cmmm dintre 12 și 18 este 36

.

1. Să se calculeze cel mai mic multiplu comun al numerelor 6 și 8.

Rezolvare

M ₆ : 0, 6, 12, 18, 24 , 30 ...
‎ M ₈ : 0, 8, 16, 24 , 32, 40 ...
‎ => cmmmc al numerelor 6 și 8 este 24

2. Aflați [20, 30].

Rezolvare

M ₂₀ : 0, 20, 40, 60 , 80, 100 ...
‎ M ₃₀ : 0, 30, 60 , 90, 120, 150 ...
‎ => cmmmc al numerelor 20 și 30 este 60

3. Scrie multiplii comuni ai numerelor 6 și 9 cuprinși între 50 și 90 inclusiv.

Rezolvare

M ₆ : 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90 ...
‎ M ₉ : 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90 …

Multiplii numerelor 6 și 9 cuprinși între 50 și 90 inclusiv sunt 54, 72 și 90.

4. Determinați cmmmc și completați:

a) [15, 30] = …

b)[33, 22] = ...

c)[14,2] = ...

d)[120, 144] = ...

Rezolvare

a) M ₁₅ = 15, 30, 45, 60, 75 …

M ₃₀ = 30, 60 …

[15, 30] = 30

b) M ₃₃ = 33, 66, 99, 132 …

M ₂₂ = 22, 44, 66 …

[33, 22] = 66

c) M ₁₄ = 14, 28, 42, 56 …

M ₂ = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 …

[14, 2] = 14

d) M ₁₂₀ = 120, 240, 360, 480, 600, 720…

M ₁₄₄ = 144, 288, 432, 576, 720 …

[120, 144] = 720

5. Determinați cel mai mic număr natural care se împarte exact la:

a) 12 și 10

b) 12 și 15

c) 35 și 20

d) 14 și 5

Rezolvare

a) M ₁₂ = 12, 24, 36, 48, 60 …

M ₁₀ = 10, 20, 30, 40, 50, 60 …

[12, 20] = 60

b) M ₁₂ = 12, 24, 36, 48, 60 …

M ₁₅ = 15, 30, 45, 60 …

[12, 15] = 66

c) M ₃₅ = 35, 70, 105, 140 …

M ₂₀ = 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140 …

[35, 20] = 140

d) M ₁₄ = 14, 28, 42, 56, 70…

M ₅ = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70 …

[14, 5] = 70

6. Aflați [x, y], apoi enumerați primii 3 multiplii comuni ai numerelor x și y.

a) x = 6, y = 4

b) x = 15, y = 10

c) x = 12, y = 24

d) x = 25, y = 10

Rezolvare

a) M ₆ = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 …

M ₄ = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60 …

[6, 4] = 12. Primii 3 multiplii comuni sunt: 12, 24 și 36

b) M ₁₅ = 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105 ...

M ₁₀ = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 ...

[15, 10 ] = 30. Primii 3 multiplii comuni sunt: 30, 60 și 90.

c) M ₁₂ = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 ...

M ₂₄ = 24, 48, 72, 96 ...

[12, 24] = 24. Primii 3 multiplii comuni sunt: 24, 48 și 96.

d) M ₂₅ = 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175 ...

M ₁₀ = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 150 ...

[25, 10] = 50. Primii 3 multiplii comuni sunt: 50, 100 și 150.

7. Folosind descompunerea în factori primi, determinați cel mai mic multiplu comun dintre:

a) 15 și 35

b)16 și 48

c)14 și 8

d) 72 și 36

e) 80 și 120

f) 24 și 72

Rezolvare

a)

Se aleg factorii primi comuni și necomuni (o singură dată fiecare), cu exponentul cel mai mare și se inmulțesc intre ei.

15 = 5 ⋅ 3

35 = 5 ⋅ 7

[15, 35] = 5 ⋅ 3 ⋅ 7 = 105

b) 16 = 2 ⁴

48 = 3 ⋅ 2 ⁴

[16, 48] = 2 ⁴ ⋅ 3 = 48

c) 14 = 2 ⋅ 7

8 = 2 ³

[14, 8] = 2 ³ ⋅ 7 = 56

d) 72 = 3 ² ⋅ 2 ³

36 = 3 ² ⋅ 2 ²

[72, 36] = 3 ² ⋅ 2 ³ = 72

e) 80 = 2 ⁴ ⋅ 5

120 = 2 ³ ⋅ 5 ⋅ 3

[80, 120] = 2 ⁴ ⋅ 5 ⋅ 3 = 240

f) 24 = 3 ⋅ 2 ³

72 = 3 ² ⋅ 2 ³

[24,72] = 3 ² ⋅ 2 ³ = 72

8. Aflați numerele naturale x pentru care:

a) [x, 14] = 14

b) [20, x] = 20

c) [x, 15] = 30

Există vreun număr natural astfel încât [12, x] = 25?

Rezolvare

a) [x, 14] = 14, deci 14 trebuie sa fie multiplul lui x, iar x divizorul lui 14.

Scriem toți divizorii lui 14, adică posibilele valori ale lui x.

D ₁₄ = 1, 2, 7, 14

Astfel încât toți divizorii lui 14 respectă condiția [x, 14] = 14, rezultă că x poate fi 1, 2, 7 sau 14.

b) [20, x] = 20

D ₂₀ = 1, 2, 4, 5, 10, 20

x poate lua valorile 1, 2, 4, 5, 10 sau 20

c) [x, 15] = 30

D ₃₀ = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

De data aceasta, nu mai respectă toți divizorii lui 30 condiția [x, 15] = 30. De exemplu, pentru x = 3, [3, 15] = 15, deci x nu poate lua valoarea 3.

Verificând pe rând toți divizorii lui 30, vom afla că x poate lua valorile 2, 6, 10 sau 30.

Există vreun număr natural astfel încât [12, x] = 25? Evident că nu. Acest lucru se poate demonstra simplu:

Scriem divizorii lui 25: D ₂₅ = 1, 5 , 25. Observăm că 12 nu se află printre ei, așadar nici nu mai are rost să îl căutăm pe x. El nu există!

9. Ioana are de rezolvat între 60 și 80 de exerciții. Dacă rezolvă 6, 8 sau 9 pe zi, ea observă că îi mai rămân de rezolvat de fiecare dată încă 2 exerciții. Câte exerciții a avut Ioana de rezolvat?

Rezolvare

Mai întâi aflăm un multiplu comun al numerelor 6, 8 și 9, mai mare decât 60 și mai mic decât 80:

M ₆ = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72 …

M ₈ = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 …

M ₉ = 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 …

A șadar, am gasit un multiplu comun dintre 6, 8 și 9. El este 72.

Ce ne mai rămâne să facem pentru a afla numărul de exerciții este să adunăm cele 2 exerciții rămase, adică 72 + 2 = 74.

10. Care este cel mai mic număr de bomboane care poate fi ambalat atât în cutii de câte 12 cât și cutii de câte 20? Cutiile trebuie să fie complete și nicio bomboană nu poate fi lăsată pe dinafară. Câte cutii de 12 bomboane vom obține? Câte cutii de 20 de bomboane vom obține?

Rezolvare

M ₁₂ : 0, 12, 24, 3 6 , 48, 60 , 72 ...
‎ M ₂₀ : 0, 20, 40, 60 , 80 ...
‎ => cmmmc al numerelor 12 și 20 este 60
‎ Dacă ambalăm bomboanele în cutii de câte 12 atunci vom avea 60 : 12 = 5 cutii
‎ Dacă ambalăm bomboanele în cutii de câte 20 atunci vom avea 60 : 20 = 3 cutii