Fracții ordinare Simplificarea fracțiilor / fracții ireductibile
Selecție de lecții videoFracții
Simplificarea fracțiilor. Fracții ireductibile
A simplifica o fracție cu un număr natural nenul înseamnă a împărți atât numărătorul, cât și numitorul fracției date cu acel număr.
Exemplu :
Prin simplificare se obține o fracție echivalentă.
Dintr-o fracție care reprezintă două sferturi simplificată cu 2 obținem o fracție care reprezintă jumătatea, adică o fracție echivalentă.
O jumătate este echivalentă cu două sferturi.
O fracție care nu se poate simplifica prin niciun număr natural se numește fracție ireductibilă.
Exemplu:
O fracție este ireductibilă dacă numitorul și numărătorul nu au divizori proprii comuni.
O fracție se numește reductibilă dacă se poate simplifica.
Exemplu:
2. Simplifică fracțiile \(\frac{2 · 3 · 5}{2 · 3 · 7}\); \(\frac{3 · 5 · 13}{5 · 7 · 17}\); \(\frac{2 · 19}{3 · 19}\);
Simplificăm fiecare fracție cu factorii comuni dintre numărător și numitor. Observăm că numerele sunt deja descompuse în factori primi ceea ce face exercițiul și mai ușor.
\(\frac{2·3·5}{2·3·7}\) = \(\frac{5}{7}\)
\(\frac{3·5·13}{5·7·17}\) = \(\frac{3·13}{7·17}\)
\(\frac{2·19}{3·19}\) = \(\frac{2}{3}\)
2. Simplifică cu 2 fracțiile \(\frac{84}{36}\); \(\frac{42}{18}\); \(\frac{48}{20}\); \(\frac{24}{10}\).
\({\frac{84}{36}}^{(2} = {\frac{42}{18}}\)
\({\frac{42}{18}}^{(2} = {\frac{21}{9}}\)
\({\frac{48}{20}}^{(2} = {\frac{24}{10}}\)
\({\frac{24}{10}}^{(2} = {\frac{12}{5}}\)
3. Simplifică fracțiie \(\frac{36}{20}\) și \(\frac{105}{175}\) până când aceasta ajung la forma ireductibilă.
\({\frac{36}{20}}^{(2} = {\frac{18}{10}}^{(2} = \frac{9}{5}\)
\(\frac{105}{175}\) = \({\frac{3·5·7}{5·5·7}}^{(35}\) = \(\frac{3}{5}\)
4. Stabilește valoarea de adevăr a următoarelor propoziții:
a) Fracția \(\frac{36}{18}\) prin simplificare cu 3 are valoarea \(\frac{12}{6}\)
b) Fracția \(\frac{45}{75}\) prin simplificare cu 5 are valoarea \(\frac{9}{12}\)
c) Fracția \(\frac{65}{117}\) prin simplificare cu 13 este ireductibilă
d) Fracția \(\frac{132}{99}\) prin simplificare cu 11 este reductibilă
a) A
b) F
c) A
d) A
5. a) Scrieți toate fracțiile subunitare ireductibile cu numitorul 8 ;
b) Scrieti toate fracțiile supraunitare reductibile cu numărătorul 6 ;
c) Scrie ți toate fracțiile subunitare ireductibile cu numitorul 9 ;
a) \(\frac{1}{8}\), \(\frac{3}{8}\), \(\frac{5}{8}\), \(\frac{7}{8}\)
b) \(\frac{6}{2}\), \(\frac{6}{3}\), \(\frac{6}{4}\)
c) \(\frac{1}{9}\), \(\frac{2}{9}\), \(\frac{4}{9}\), \(\frac{5}{9}\), \(\frac{7}{9}\), \(\frac{8}{9}\)
6. Simplificați următoarele fracții pentru a obține fracții ireductibile:
a) \(\frac{75}{100}\)
b) \(\frac{13}{39}\)
c) \(\frac{88}{121}\)
d) \(\frac{28}{42}\)
e) \(\frac{40}{70}\)
f) \(\frac{100}{200}\)
a) \(\frac{75}{100} = {\frac{75}{100}}^{(5} = \frac{15}{20} = {\frac{15}{20}}^{(5} = \frac{3}{4}\)
b) \(\frac{13}{39} = {\frac{13}{39}}^{(13} = \frac{1}{3}\)
c) \(\frac{88}{121} = {\frac{88}{121}}^{(11} = \frac{8}{11}\)
d) \(\frac{28}{42} = {\frac{28}{42}}^{(2} = \frac{14}{21} = {\frac{14}{21}}^{(7} = \frac{2}{3}\)
e) \(\frac{40}{70} = {\frac{40}{70}}^{(10} = \frac{4}{7}\)
f) \(\frac{100}{200} = {\frac{100}{200}}^{(100} = \frac{1}{2}\)
7. Simplificați fracțiile următoare:
a) \(\frac{14 + 12}{20}\)
b) \(\frac{15}{9 + 15}\)
c) \(\frac{2+5+13}{7+13+20}\)
d) \(\frac{30+40+21}{50+40+14}\)
Mai întâi facem adunările, apoi simplificăm.
a) \(\frac{14 + 12}{20} = \frac{26}{20} = {\frac{26}{20}}^{(2} = \frac{13}{10}\)
b) \(\frac{15}{9 + 15} = \frac{15}{24} = {\frac{15}{24}}^{(3} = \frac{5}{8}\)
c) \(\frac{2+5+13}{7+13+20} = \frac{20}{40} = {\frac{20}{40}}^{(10} = \frac{2}{4} = {\frac{2}{4}}^{(2} = \frac{1}{2}\)
d) \(\frac{30 + 40 + 21}{50 + 40 + 14} = \frac{91}{104} = {\frac{91}{104}}^{(13} = \frac{7}{8}\)
8. Dintre următoarele fracții, scrieti fracțiile ireductibile.
\(\frac{12}{4}\), \(\frac{15}{8}\), \(\frac{7}{9}\), \(\frac{21}{18}\), \(\frac{31}{12}\), \(\frac{18}{45}\), \(\frac{16}{9}\)
Fracțiile ireductibile sunt: \(\frac{15}{8}\), \(\frac{7}{9}\), \(\frac{31}{12}\), \(\frac{16}{9}\).
9. Prin simplificare, determinați care dintre următoarele fracții sunt egale cu fracția \(\frac{210}{336}\).
\(\frac{5}{8}\), \(\frac{26}{38}\), \(\frac{124}{168}\), \(\frac{105}{168}\), \(\frac{32}{54}\), \(\frac{35}{56}\)
\(\frac{210}{336} = {\frac{210}{336}}^{(2} = \frac{105}{168} = {\frac{105}{168}}^{(3} = \frac{35}{56} = {\frac{35}{56}}^{(7} = \frac{5}{8}\)
Așadar, fracțiile egale cu \(\frac{210}{336}\) sunt : \(\frac{5}{8}\), \(\frac{105}{168}\), \(\frac{35}{56}\).
10. Asociază unei fracții din prima linie, o fracție echivalentă din a doua.
\(\frac{9}{24}\) \(\frac{4}{12}\) \(\frac{20}{18}\) \(\frac{15}{35}\) \(\frac{56}{77}\)
\(\frac{3}{7}\) \(\frac{8}{11}\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{3}{8}\) \(\frac{10}{9}\)
\(\frac{9}{24}\) = \(\frac{3}{8}\)
\(\frac{4}{12}\) = \(\frac{1}{3}\)
\(\frac{20}{18}\) = \(\frac{10}{9}\)
\(\frac{15}{35}\) = \(\frac{3}{7}\)
\(\frac{56}{77}\) = \(\frac{8}{11}\)
11. Ce fracție trebuie amplificată pentru a ajunge la fracția \(\frac{120}{180}\)? Câte răspunsuri poate avea această întrebare?
Pentru a putea afla răspunsul întrebării, trebuie sa facem operația inversă amplificării, adică simplificarea. Deci:
\(\frac{120}{180} = {\frac{120}{180}}^{(2} = \frac{60}{90} = {\frac{60}{90}}^{(2} = \frac{30}{45} = {\frac{30}{45}}^{(5} = \frac{6}{9} = {\frac{6}{9}}^{(3} = \frac{2}{3}\)
Așadar, întrebarea are 4 răspunsuri, adică 4 fracții care puteau fi amplificate: \(\frac{60}{90}, \frac{30}{45}, \frac{6}{9}, \frac{2}{3}\)
