Divizibilitate

Numere prime. Numere compuse

Un număr natural este "prim" dacă se divide numai cu 1 și cu el însuși.
‎ Exemple :
‎ 3 este prim pentru c ă se divide doar cu 1 și cu 3.
‎ 17 este prim pentru c ă se divide doar cu 1 și cu 17.

Un număr natural se numește "compus" dacă care are și alți divizori decât 1 și el însuși.
‎ Uneori, mai numim numerele compuse și neprime .
‎ Exemple:
‎ 6 este compus pentru că se divide cu 1, 2,3 ,6
‎ 10 este compus pentru că se divide cu 1, 2,5 ,10

Numerele 0 și 1 nu sunt nici prime și nici compuse.

Numărul 2 este prim pentru că se divide doar cu 1 și 2. 2 este singurul număr prim și par.

Numerele prime până la 1000 sunt :
‎

	2	3	5	7	11	13	17	19	23
29	31	37	41	43	47	53	59	61	67
71	73	79	83	89	97	101	103	107	109
113	127	131	137	139	149	151	157	163	167
173	179	181	191	193	197	199	211	223	227
229	233	239	241	251	257	263	269	271	277
281	283	293	307	311	313	317	331	337	347
349	353	359	367	373	379	383	389	397	401
409	419	421	431	433	439	443	449	457	461
463	467	479	487	491	499	503	509	521	523
541	547	557	563	569	571	577	587	593	599
601	607	613	617	619	631	641	643	647	653
659	661	673	677	683	691	701	709	719	727
733	739	743	751	757	761	769	773	787	797
809	811	821	823	827	829	839	853	857	859
863	877	881	883	887	907	911	919	929	937
941	947	953	967	971	977	983	991	997

Cum verific ăm dacă un număr "a" este prim?

Căutăm divizori împărțind numărul "a" la numere prime începând cu 2. Dacă unul din numerele prime îl împarte exact pe "a" atunci num ărul nu este prim.
‎ Dacă niciunul din numerele prime nu-l divide pe "a" atunci num ărul este prim.

Unde ne oprim

Ne oprim atunci când numerele prime depășesc jumătatea numărului "a".

Exemple:

39 este prim?
‎ Nu, pentru c ă este divizibil la 3. Am aplicat criteriul de divizibilitate cu 3.

706 este prim?
‎ Nu, pentru că este divizibil la 2. 706 este un număr par și singurul număr par prim este 2.

47 este prim?
‎ Verificăm dacă 47 este divizibil cu numerele prime mai mici decât 23 pentru că 47 : 2 = 23 rest 1
‎ 47 nu se divide la niciunul numerele {2,3,5,7,13,17,19} deci 47 este prim.

1. Scrie numerele prime mai mici decât 45.

Rezolvare

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41, 43

2. Scrie pentru fiecare dintre numerele următoare dacă sunt prime sau compuse: 42, 41, 78, 12, 53

Rezolvare

42 – compus
‎ 41 – prim
‎ 78 – compus
‎ 12 – compus
‎ 53 – prim

3. Calculați produsul dintre pătratul celui mai mic număr prim și încincitul celui mai mic număr compus.

Rezolvare

cel mai mic număr prim este 2, iar cel mai mic număr compus este 4.
‎ 2 ² + 5 · 4 = 4 + 20 = 24

4. 1 002 este multiplu de ...

Rezolvare

1, 2, 3, 6, 167, 334, 501, 1 002

5. Explicați : De ce numerele nu pot avea divizori proprii mai mari decât jumătatea lor?

Rezolvare

Să presupunem că "d" ar fi divizorul lui "n" și
‎ d > n : 2
‎ d < n pentru c ă este divizor propriu.
‎ Dacă "d" este divizorul lui "n" atunci "d" este multiplu de "n" și putem scrie:
‎ n = d · a unde "a" este un alt num ăr natural, a > 1
‎ Dac ă "d" este mai mare decât jumătatea numărului atunci "a" trebuie s ă fie mai mic decât 2 pentru ca n = d · a. Există un număr natural mai mare decât 1 dar mai mic decât 2?
‎ Nu. Am ajuns la o contradicție. Prin urmare nu pot exista divizori proprii mai mari decât jumătatea unui număr natural.

	2	3	5	7	11	13	17	19	23
29	31	37	41	43	47	53	59	61	67
71	73	79	83	89	97	101	103	107	109
113	127	131	137	139	149	151	157	163	167
173	179	181	191	193	197	199	211	223	227
229	233	239	241	251	257	263	269	271	277
281	283	293	307	311	313	317	331	337	347
349	353	359	367	373	379	383	389	397	401
409	419	421	431	433	439	443	449	457	461
463	467	479	487	491	499	503	509	521	523
541	547	557	563	569	571	577	587	593	599
601	607	613	617	619	631	641	643	647	653
659	661	673	677	683	691	701	709	719	727
733	739	743	751	757	761	769	773	787	797
809	811	821	823	827	829	839	853	857	859
863	877	881	883	887	907	911	919	929	937
941	947	953	967	971	977	983	991	997

	2	3	5	7	11	13	17	19	23
29	31	37	41	43	47	53	59	61	67
71	73	79	83	89	97	101	103	107	109
113	127	131	137	139	149	151	157	163	167
173	179	181	191	193	197	199	211	223	227
229	233	239	241	251	257	263	269	271	277
281	283	293	307	311	313	317	331	337	347
349	353	359	367	373	379	383	389	397	401
409	419	421	431	433	439	443	449	457	461
463	467	479	487	491	499	503	509	521	523
541	547	557	563	569	571	577	587	593	599
601	607	613	617	619	631	641	643	647	653
659	661	673	677	683	691	701	709	719	727
733	739	743	751	757	761	769	773	787	797
809	811	821	823	827	829	839	853	857	859
863	877	881	883	887	907	911	919	929	937
941	947	953	967	971	977	983	991	997

	2	3	5	7	11	13	17	19	23
29	31	37	41	43	47	53	59	61	67
71	73	79	83	89	97	101	103	107	109
113	127	131	137	139	149	151	157	163	167
173	179	181	191	193	197	199	211	223	227
229	233	239	241	251	257	263	269	271	277
281	283	293	307	311	313	317	331	337	347
349	353	359	367	373	379	383	389	397	401
409	419	421	431	433	439	443	449	457	461
463	467	479	487	491	499	503	509	521	523
541	547	557	563	569	571	577	587	593	599
601	607	613	617	619	631	641	643	647	653
659	661	673	677	683	691	701	709	719	727
733	739	743	751	757	761	769	773	787	797
809	811	821	823	827	829	839	853	857	859
863	877	881	883	887	907	911	919	929	937
941	947	953	967	971	977	983	991	997