Arii și volume

Aria și volumul conului circular drept

Aria laterală a conului circular drept este aria sectorului de cerc cu raza G și lungimea arcului egală cu lungimea cercului bază a conului.

Aria totală este suma dintre aria laterală și aria bazei.

unde h este înălțimea conului.

1. Priviți conul drept circular din imagine. Figura nu este construită la scară.

Raza OA este de 2,5cm iar lungimea segmentului VA este de 6,5cm.

a) Ce fel de triunghi este VOA? Punctul O este centrul bazei conului.

b) Construiți figura la scară cu ajutorul riglei gradate.

c) Aflați înălțimea conului VO.

d) Considerăm că acest con este o lumânare de ceară realizată prin prelucrare, dintr-un cilindru de ceară cu acceași înălțime și același diametrul al bazei. Care este volumul cilindrului de ceară inițial?
‎

Rezolvare

a)Triunghiul VOA este un triunghi dreptunghic.
‎ b) *Dimensiunile conului pot varia în funcție de dimensiunile ecranului.
‎ c) Folosim teorema lui Pitagora : VO ² = VA ² - OA ² = 6,5 ² - 2,5 ² = 42,25 - 6,25 = 36
‎ VO = 6cm
‎ d) Volumul cilindrului este:
‎
‎
‎ Volumul cilindrului de cear ă = 𝝅 · 2,5 ² · 6,5 ≃ 3,14 · 6,25 · 6,5 = 127,5 cm ³

2. Fie un con circular drept cu raza bazei de 3 cm și înălțimea de 4 cm. Să se calculeze aria totală și volumul acestui con.

Rezolvare

Aflăm generatoarea folosind Teorema lui Pitagora
‎ G ² = 4 ² + 3 ² ⇒ G ² = 16 + 9 = 25 cm ⇒ G = 5 cm
‎ A _t = 𝝅R(G+R) = 3𝝅(5+3) = 24𝝅 cm ²
‎ V = \(\frac{1}{3}\) · 𝝅R ² h = \(\frac{1}{3}\) · 𝝅3 ² · 4 = 12 𝝅 cm ³

3. Să se calculeze volumul unui acoperiș al unui turn cu diametrul bazei de 10m și înălțimea de 12m.

Rezolvare

d = 10m ⇒ R = 5m
‎ V = \(\frac{1}{3}\) · 𝝅R ² h = \(\frac{1}{3}\) · 𝝅5 ² · 12 = 100 𝝅 cm ³

4. Un pahar în formă conică este umplut complet. Vărsăm din conținut până când înălțimea lichidului este jumătate din cât a fost. Cum s-a modificat volumul lichidului?

Rezolvare

Notăm cu V ₁ volumul inițial și cu V ₂ volumul rămas.
‎ Observăm că atât înălțimea cât și raza bazei conului au acum jumătate din valorile lor inițiale.
‎ V ₁ = \(\frac{1}{3}\) 𝝅R ² h
‎ V ₂ = \(\frac{1}{3}\) 𝝅 \((\frac{R}{2})^2\) · \(\frac{h}{2}\) = \(\frac{1}{3}\) 𝝅 \(\frac{R^2}{4}\) · \(\frac{h}{2}\) = \(\frac{1}{3}\) · \(\frac{1}{8}\) 𝝅R ² h = \(\frac{1}{8}\) V ₁
‎
‎