Arii și volume

Aria și volumul piramidei

Dacă VA ₁ A ₂ …A _n este piramidă regulată cu baza A ₁ A ₂ …A _n , atunci înălțimea VM a unei fețe laterale se numește apotema piramidei . Apotema poligonului regulat A ₁ A ₂ …A _n se numește apotema bazei.

Aria laterală a piramidei este suma ariilor fețelor laterale și se notează cu Al.

Dacă :

 n este num ărul laturilor bazei atunci aria laterală .

 L _n este lungimea laturii bazei.

 a _p este lungimea apotemei piramidei sau, altfel spus, înălțimea unei fețe laterale.

Pentru că n · L _n este perimetrul bazei putem scrie :

Unde P _b este perimetrul bazei.

Aria totală a piramidei este suma dintre aria laterală a piramidei și aria bazei acesteia.

Volumul piramidei este o treime din produsul dintre aria bazei și înălțimea piramidei.

unde

 V _piramidă este volumul piramidei

 A _b este aria bazei

 h este înălțimea piramidei

1. Fie o piramidă cu baza pătrat cu latura de 6cm iar înălțimea unei fețe laterale este de 8cm. Care este aria totală și volumul piramidei?

2.

Rezolvare

‎ Pentru că baza este un pătrat, aria bazei este A _b = 6 ² = 36cm ²
‎ Aria laterală este de patru ori aria unei fețe pentru că această piramidă are 4 fețe laterale.
‎ Al = 4 · \(\frac{6 · 8}{2}\) = 96 cm ²
‎ Aria totală = Aria bazei + Aria laterală = 36 + 96 = 132cm ^2
‎ Pentru a afla volumul piramidei trebuie să-i calculăm înălțimea folosind teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic OVM.
‎ VO ² = VM ² − OM ^2
‎ VO ² = 8 ² − 3 ²
‎ VO ² = 64 − 9 = 55
‎ VO = \(\sqrt{55}\)
‎ Volumul piramidei = \(\frac{Aria\_bazei · înălțimea\_piramidei}{3}\) = \(\frac{6 · 6 · \sqrt{55}}{3}\) = \(12 · \sqrt{55}\)

2. Să se calculeze aria totală și volumul unei piramide cu baza pătrat de latură 5 cm știind că înălțimea piramidei este de 6 cm, iar apotema piramidei are lungimea de 4 cm.

Rezolvare

‎ P _b = 4 · 5 = 20 cm ²
‎ A _b = 5 ² = 25 cm ^2
‎ A _l = \(\frac{20 · 4}{2}\) = 40 cm ^2
‎ Aria totală = Aria bazei + Aria laterală
‎ A _t = 25 + 40 = 65 cm ²
‎ V _p = \(\frac{Aria\_bazei · înălțimea\_piramidei}{3}\) = \(\frac{25 · 6}{3}\) = \(\frac{150}{3}\) = 50 cm ³