Geometrie

Drepte perpendiculare pe plan

Cine închide ușa?

Teoreme de perpendicularitate (1)

Teoreme de perpendicularitate (2)

Dreapta perpendiculară pe plan (2)

Definiție

O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din plan. Scriu: d ⊥ α . Citesc: „ Dreapta d este perpendicular ă pe planul α.

Teoremă

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan, atunci ea este perpendiculară pe plan.

Proprietăți

 Perpendiculara dintr-un punct pe un plan este unică

 Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci orice paralelă la acea dreaptă este perpendiculară pe plan.

1. Să se construiască un plan p care conține o draptă d. Desenați apoi, o dreaptă perperndiculară pe planul p care intersectează dreapta d în punctul A.

Rezolvare

2. Fie ABCDA’B’C’D’ un paralelipiped. Să se demonstreze că dreapta BB’ este perpendiculară pe planul (ABC).

Rezolvare

‎ ABCDA’B’C’D’ – paralelipiped ⇒ ABB’A’ – dreptunghi ⇒ BB’ ⊥ AB
‎ ABCDA’B’C’D’ – paralelipiped ⇒ BCC’B’ – dreptunghi ⇒ BB’ ⊥ BC
‎ AB, BC ⊂ (ABC)
‎ Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte concurente într-un plan, atunci ea este perpendiculară pe plan. BB’ ⊥ (ABC)

3. Fie MNOM’N’O’ o prismă triunghiulară dreaptă. Să se demonstreze că MM’ este perpendiculară pe planul MNO.

Rezolvare

‎
‎ MNOM’N’O’ - prismă triunghiulară dreaptă ⇒ MNN’M’ – dreptunghi ⇒ MM’ ⊥ MN
‎ MNOM’N’O’ - prismă triunghiulară dreaptă ⇒ MOO’M’ – dreptunghi ⇒ MM’ ⊥ MO
‎ MN, MO ⊂ (ABC) ⇒ MM’ ⊥ (MNO)