Calcul algebric în R

Operații cu numere reale reprezentate prin litere

1. Calculați:

a) 2(2x+2y) – 3x + 5y =
‎ b) x(x + y) – y(x – y) =
‎ c) (x + 2y)(x – 2y) + x(y – x) + y(x + y) =

a) 2(2x+2y) – 3x + 5y= 4x + 4y – 3x + 5y =
‎ 4x – 3x + 4y + 5y = x + 9y
‎ b) x(x + y) – y(x – y)= x ² + xy – yx + y ² = x ² + y ² ^‎ c) (x + 2y)(x – 2y) + x(y – x)+y(x + y)=
‎ x ² – 2xy +2xy – 4y ² + xy – x ² +xy + y ² = – 3y ² + 2xy

2. Aflați expresia lui x în funcție de y apoi expresia lui y în funcție de x știind că – 4x + 6y = 2.
‎ x = ...
‎ y = ...

Rezolvare

– 4x + 6y = 2
‎ 6y = 2 + 4x
‎ y = \(\frac{2 + 4x}{6}\) = \(\frac{1 + 2x}{3}\)
‎ 4x = 6y – 2
‎ x = \(\frac{6y – 2}{4}\) = \(\frac{3y – 1}{2}\)

3. Scrieți sub forma unei singure fracții :
‎ \(\frac{5x – 2}{3}\) – \(\frac{6}{x}\) =
‎ x ≠ 0

Rezolvare

\(\frac{5x – 2}{3}\) – \(\frac{6}{x}\) = \(\frac{x(5x – 2)}{3x}\) – \(\frac{3 · 6}{3x}\) = \(\frac{ x(5x – 2) – 18}{3x}\) = \(\frac{5x2 – 2x – 18}{3x}\)
‎

4. Fie k un număr întreg.

a) 2k este un număr par. Cum exprimați următorul număr par în funcție de k?
‎ b) Arătați că diferența dintre inversele a două numere pare consecutive nenule este dublul inversului produsului lor.

Rezolvare

a) 2k + 2
‎ b) Scriem diferența dintre \(\frac{1}{2k}\) și \(\frac{1}{2k + 2}\) și aducem la același numitor.
‎ \(\frac{1}{2k}\) – \(\frac{1}{2k + 2}\) = \(\frac{2k + 2}{2k(2k+2)}\) – \(\frac{2k}{2k(2k + 2)}\) =
‎ \(\frac{2k + 2 – 2k}{2k(2k + 2)}\) = \(\frac{2}{2k(2k + 2)}\) care este dublul inversului produsului dintre 2k și (2k+2) ceea ce era de demonstrat.

Glume cu tâlc

4. Explicați!

a,b ∈ ℝ

a = b
‎ a + a = a + b
‎ 2a = a + b
‎ 2a – 2b = a + b – 2b
‎ 2(a – b) = a + b – 2b
‎ 2(a – b) = a – b
‎ 2 = 1

Rezolvare

Am plecat de la premisa că a = b. Asta înseamnă că a – b = 0. Atunci nu putem simplifica cu (a – b) pentru că asta ar însemna o împărțire cu zero.
‎
‎