Relații metrice în triunghiul dreptunghic Notiuni trigonometrice
Selecție de lecții videoRelații metrice în triunghiul dreptunghic
No țiuni trigonometrice
Definiție
Într-un triunghi dreptunghic, cu unghiul ascuțit B, raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului B și lungimea ipotenuzei se numește sinusul unghiului și se notează sin B.
Exemplu
Cunoaștem teorema care spune că într-un triunghi dreptunghic, lungimea laturii opuse unghiului de 30 o are lungimea jumătate din ipotenuză.
Acum spunem că sin 30 o = \(\frac{1}{2}\) care este o formulare echivalentă.
Definiție
Într-un triunghi dreptunghic, cu unghiul ascuțit B, raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului B și lungimea ipotenuzei se numește cosinusul unghiului și se notează cos B.
Definiție
Într-un triunghi dreptunghic, cu unghiul ascuțit B, raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului B și lungimea catetei alăturate se numește tangenta unghiului și se notează tg B.
Definiție
Într-un triunghi dreptunghic, cu unghiul ascuțit B, raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului B și lungimea catetei opuse se numește cotangenta unghiului și se notează ctg B.
Valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 30 o , 45 o și 60 o .
1. În triunghiul dreptunghic ABC fie cateta AB = 6 cm și cateta AC= \(6\sqrt{3}\) cm. Aflați măsura unghiului BCA.
tg(
∢
BCA) = \(\frac{AB}{AC}\) = \(\frac{6}{6\sqrt{3}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
tg(30
o
) = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
∢
BCA = 30
o
2. În triunghiul dreptunghic MNP cu unghiul drept în vârful N și măsura unghiului MPN de 30 ipotenuza este egală cu 12 cm. Să se afle tangenta unghiului NMP.
tg(
∢
M) = \(\frac{NP}{MN}\)
Într-un triunghi dreptunghic, cateta unghiului de 30
o
este jumătate din ipotenuză.
MN = 12
: 2 = 6 cm
Afl
ăm lungimea catetei NP cu teorema lui Pitagora.
NP
2
= MP
2
– MN
2
= 144 – 36 = 108
NP =
\(\sqrt{108}\) = \(\sqrt{2^2 + 3^3}\) = \(6\sqrt{3}\)
tg(
∢
M) = \(\frac{NP}{MN}\) =
\(\frac{6\sqrt{3}}{6}\) = \(\sqrt{3}\)
3. La 4,5 m de casa lui Vlad este un nuc bătrân care atunci când este vând puternic se clatină în mod periculos. Vlad dorește să-l taie și să planteze un pui de nuc dar trebuie să se asigure că atunci când cade, nucul nu ajunge la casă.
Vlad știe trigonometrie și dorește să aproximeze cât mai bine înălțimea nucului fără să se cațere în el. Cu ajutorul unui raportor privește la vărfului nucului astfel încât direcția să treacă prin marcajul de 30 o de pe raportor.
Ca să alinieze cele trei puncte
:
ochiul său aflat în centrul raportorului, marcajul de 30
o
și vârful nucului, Vlad trebuie să se deplaseze până când aceste trei puncte sunt coliniare. Spuneți dacă nucul se poate tăia în siguranță știind că Vlad a găsit distanța de la nuc la ochi de 5,5m iar măsurătoarea a fost făcuta la o înălțime de 1,5m față de sol.
*Se poate folosi calculatorul de buzunar.
Cerința este să comparăm înălțimea nucului cu distanța de la nuc la casă.
Determinăm latura AC din triunghiul dreptunghic ABC și apoi aflăm înălțimea nucului CS.
sin 30
o
= \(\frac{AC}{AB}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\) = \(\frac{AC}{5,5}\)
\(\frac{\sqrt{1,73}}{3}\) = \(\frac{AC}{5,5}\)
AC
≃
\(\frac{5,5 · 1,73}{3}\) = 3.17
AS = 3,17 + 1,5 = 4,67m este
înălțimea nucului.
4,67
>
4,5
În concluzie nucul poate lovi casa pentru că este mai înalt decât distanța până la acasă care este de doar 4,5m. Nucul nu se poate tăia în siguranță. Vlad trebuie să se asigure că nucul nu va cădea spre casă atunci când va fi doborăt.
4. Panoul rutier de mai jos indică o rampă de 10%.
Aceasta înseamnă că pentru o distanță de 100m drumul urcă 10m.
a) Dați o valoarea aproximativă pentru unghiul C.
b) În ce caz este panta mai mare, adică este mai greu de urcat? Ce unghi are fiecare rampă din cele trei desene de mai jos?
Considerăm știute valoarile tangentei
tg(2
o
52
'
)
≃
0,05
tg(5
o
42
'
)
≃
0,10
tg(6
o
50
'
)
≃
0,12
tg(11
o
18
'
)
≃
0,20
a) tg(
∢
C) =
\(\frac{AB}{AC}\) = \(\frac{10}{100}\) = 0,1
tg(5
o
42
'
) = 0,1
⇒
∢
C = 5
o
42
'
b)
tg(
∢
C) =
\(\frac{12}{100}\) = 0,12
tg(6
o
50
'
)
≃
0,12
⇒
∢
C
≃
6
o
50
'
tg(
∢
C) =
\(\frac{20}{100}\) = 0,2
tg(11
o
18
'
)
≃
0,2
⇒
∢
C
≃
11
o
18
'
tg(
∢
C) =
\(\frac{5}{100}\) = 0,05
tg(2
o
52
'
)
≃
0,05
⇒
∢
C
≃
2
o
52
'
Cea mai mare pantă este reprezentată de panoul din mijloc cu 20% având unghiul C de
11
o
18
'.
5.
Canalul Panama
este un canal navigabil foarte important din America Centrală care leagă oceanele Atlantic și Pacific. Construcția canalului a reprezentat unul dintre cele mai mari proiecte de inginerie întreprinse vreodată. Canalul artificial are 77km lungime și 150m lățime. De-a lungul canalului sunt contruite ecluze pentru a controla curgerea apei și pentru a acomoda diferențele de nivel.
În dreptul unei ecluze canalul are lățimea de 34m iar porțile ecluzelor formează un unghi pentru a le mări rezistența.
Aflați lungimea unei porți dacă unghiul format de porți cu peretele canalului este de 60o iar ambele porți au aceleași dimensiuni. Rezultatul va fi rotunjit la cm.
Se poate folosi calculatorul de buzunar.
*
În scopul simplificării problemei, unele date pot diferi de realitate.
Trasăm înălțimea triunghiului ABC. Pentru că porțile au aceeași dimensiune, AB ≡ AC,
△
ABC este isoscel
⇒
M este mijlocul lui BC
⇒
BM = 34 : 2 = 17m
cos(
∢
B) = \(\frac{BM}{AB}\)
cos(30
o
) = \(\frac{17}{AB}\)
AB = \(\frac{17}{cos(30^o)}\) = \(\frac{17}{ \frac{\sqrt{3}}{2}}\) = \(\frac{34}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{34\sqrt{3}}{3}\)
≃
19,63 m = 1963 cm
6.
Un
inginer proiectant măsoară lățimea unui râu pentru podul pe care urmează să-l proiecteze. Măsurătoarea trebuie făcută fără să traversese râul. Pentru asta a realizat următorul desen pe malul râului.
Inginerul măsoară unghiurile ABC și ABD care au măsura de 52 respectiv 22 de grade. Segmentul AB are măsura de 250m. Segmentul AD nu poate fi măsurat direct din cauza terenului inaccesibil.
Segmentele AC și AB sunt perpendiculare din construcție.
Care este lățimea luciului de apă marcată în figură cu segmentul CD?
Tabel cu valori ale funțiilor trigonometrice care pot fi folosite în rezolvarea problemei.
tg(52
o
)
≃
1,28
tg(22
o
)
≃
0,40
CD = AC – AD
În triunghiul dreptunghic ABC, tg(
∢
ABC) = \(\frac{AC}{AB}\) = tg(52
o
)
≃
1,28
\(\frac{AC}{AB}\)
≃
1,28
AC
≃
1,28 · AB = 1,28 · 250 = 320 m
În triunghiul dreptunghic ABD, tg(
∢
ABD) = \(\frac{AD}{AB}\) = tg(22
o
)
≃
0,40
\(\frac{AD}{AB}\)
≃
0,40
AD
≃
0,40 · AB = 0,40 · 250 = 100 m
CD = AC – AD = 320 – 100 =
220 m
