Relații metrice în triunghiul dreptunghic Teorema catetei
Selecție de lecții videoRelații metrice în triunghiul dreptunghic
Teorema catetei
Teorema catetei
Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii unei catete este egal cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză.
Reciproca teoremei catetei
Fie triunghiul ABC și D proiecția punctului A pe BC. Dacă D aparține segmentului BC și este verificată una din relațiile: AB 2 = BC · BD sau AC 2 = BC · CD, atunci triunghiul ABC este dreptunghic în A.
1. În triunghiul ABC dreptunghic cu unghiul drept A și înălțimea AD, BC = 8 cm, iar BD = \(\frac{1}{4}\) · BC. Să se afle lungimea catetei AB.
BD =
\(\frac{1}{4}\)
8 = 2 cm
Conform teoremei catetei AB
2
= BC · BD
⇒
AB
2
= 8 · 2 = 16
⇒
AB =
\(\sqrt{16}\)
= 4 cm
2. În triunghiul ABC dreptunghic cu unghiul drept A și înălțimea AD, BC = 30 cm, iar cateta AB = \(6\sqrt{10}\) cm . Să se afle lungimea segmentului CD.
Aplicăm teorema catetei
: AB
2
= BC · BD
360 = 30 · BD
BD = 12
CD = 30 – 12 = 18
3. Dacă în triunghiul dreptunghic ABC lungimea laturii BC este de 12 cm, iar CD = \(\frac{3}{4}\) · BC, să se afle lungimea catetei AC și lungimea catetei AB.
CD = \(\frac{3}{4}\) · BC
⇒
CD = \(\frac{3}{4}\) · 12 = 9 cm
BD = BC – CD = 12 – 9 = 3
Conform teoremei catetei AB
2
= BC · BD = 12 · 3
AC =\(\sqrt{12 · 3 }\) = 6
