Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Teorema înălțimii

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este egală cu media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

Reciproca teoremei înălțimii

Dacă într-un triunghi ABC, care nu este triunghi obtuzunghic, lungimea înălțimii AD este media geometrică a lungimilor proiecțiilor laturilor AB și AC pe BC, atunci triunghiul este dreptunghic.

1. În triunghiul dreptunghic ABC cu A unghi drept și BC = 6cm, fie înălțimea AD perpendiculară pe BC astfel încât BD = \(\frac{1}{3}\) · BC. Să se calculeze lungimea înălțimii AD.

Rezolvare

‎ BD = \(\frac{1}{3}\) · BC = \(\frac{1}{3}\) · 6 = 2 cm
‎ DC = BC – BD = 6 – 2 = 4 cm
‎ din teorema înălțimii ⇒ AD ² = BD · DC ⇒ AD ² = 4 · 2 = 8 ⇒ AD = \(\sqrt{8}\) = \(2\sqrt{2}\)

2. Fie triunghiul ABC dreptunghic și AD ⊥ BC. Știind că AB = 5 și AD = 4 cm, să se afle lungimea ipotenuzei.

Rezolvare

‎ Triunghiul ADB isoscel ⇒ BD ² = AB ² – AD ²
‎ BD ² = 5 ² – 4 ² = 25 – 16 = 9 cm
‎ BD = 3 cm
‎ Din teorema înălțimii ⇒ AD ² = BD · DC
‎ 4 ² = 3 ² · DC
‎ 16 = 9 · DC
‎ DC = \(\frac{16}{9}\) =1\(\frac{7}{9}\)] ]