Asemănarea triunghiurilor

Triunghiuri asemenea

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile corespunzătoare lor respectiv proporționale.

Raportul perimetrelor a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemănare.

Exemplu:

Am mărit laturile triunghiului ABC de două ori și am obținut triunghiul DEF. În acest caz, raportul de asemănare dintre triunghiurile ABC și DEF este 1/2.

Unghiurile au rămas neschimbate adică :

∢ A ≡ ∢ D
‎ ∢ B ≡ ∢ E
‎ ∢ C ≡ ∢ F

Proprietăți

1) Orice triunghi este asemenea cu el însuși: ∆ABC ∼ ∆ ABC.

2) Dac ă ∆ ABC ∼ ∆ DEF, atunci ∆ DEF ∼ ∆ ABC.

3) Dac ă ∆ ABC ∼ ∆ DEF ș i ∆ DEF ∼ ∆ MNP, atunci ∆ ABC ∼ ∆ MNP.

4) Dou ă triunghiuri asemenea, cu raportul de asem ă nare egal cu 1, au toate laturile respectiv congruente, deci sunt triunghiuri congruente.

1. Să se deseneze triunghiurile ABC și DEF asemenea folosind rigla gradată, știind că:

- triunghiul ABC este dreptunghic și cu măsura unghiului BCA egală cu 30  .

- raportul de asemănare dintre cele două triunghiuri este de ¼ .

Ce măsură are unghiul DEF?

Rezolvare

‎ ∢ DEF = 60°

2. Dacă în triunghiul isoscel DEF unghiul dintre laturile egale este egal cu 50  și triunghiul DEF este asemenea cu triunghiul TUV, să se determine măsurile unghiurilor triunghiului TUV.

Rezolvare

Măsura unghiului EDF este egală cu 50 ^o ⇒ ∢ DEF = ∢ DFE = \(\frac{180 – 50}{2}\) = \(\frac{130}{2}\) = 65 ^o
‎ Triunghiurile DEF și TUV sunt asemenea rezultă că au unghiurile respectiv congruente.
‎ ∢ UTV = 50 ^o , ∢ TUV = ∢ TVU = 65 ^o
‎

3. Desenați două triunghiuri asemenea ABC și DEF știind că raportul de asemănare dintre ABC și DEF este 2.

Rezolvare

Lungimea laturilor primului triunghi trebuie să fie dublul lungimii respectiv laturilor din celălalt triunghi.
‎

4. Dacă triunghiurile dreptunghice ABC și MNP sunt asemenea cu un raport de asemănare de \(\frac{1}{2}\) iar lungimile laturilor triunghiului AB sunt AB = 8cm, AC = 6cm și BC=10 cm să se afle perimetrul triunghiului MNP.

Rezolvare

P _ABC = 8 + 6 + 10 = 24 cm
‎ △ ABC ∼ △ MNP
‎ \(\frac{P_{ABC}}{P_{MNP}}\) = \(\frac{1}{2}\)
‎ P _MNP = 2 · P _ABC = 2 · 24 = 48 cm

5 . Fie triunghiul echilateral ABC cu latura de lungime 6 cm și △ ABC ∼ △ MNP cu un raport de asemnănare de \(\frac{2}{3}\). Să se afle lungimea laturilor și perimetrul triunghiului MNP.

Rezolvare

△ ABC ∼ △ MNP ⇒ \(\frac{AB}{MN}\) = \(\frac{2}{3}\)
‎ MN = \(\frac{3 · AB}{2}\) = \(\frac{3 · 6}{2}\) = 9cm
‎ P = 3 · MN = 3 · 9 = 27 cm

Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea

Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare.

6. Fie triunghiul ABC dreptunghic cu lungimile catetelor egale cu 6, respectiv 9 cm. Știind că triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul DEF cu un raport de asemănare de 3, să se afle aria triunghiului DEF.

Rezolvare

‎ \(\frac{AB}{DE}\) = \(\frac{AC}{DF}\) = \(\frac{BC}{EF}\) = 3
‎ .
‎ \(\frac{Aria ABC}{Aria DEF}\) = \(3^2\)
‎ .
‎ Aria △ ABC = \(\frac{AB · AC}{2}\) = \(\frac{6 · 9}{2}\) = 27 cm ² .
‎ .
‎ \(\frac{27}{Aria DEF}\) = \(3^2\)
‎
‎ Aria △ DEF = \(\frac{27}{9}\) = 3 cm ²
‎