Asemănarea triunghiurilor Teorema lui Thales
Selecție de lecții videoAsemănarea triunghiurilor
Teorema lui Thales
Teorema lui Thales
O paralelă la una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi, sau pe prelungirile lor, segmente proporționale.
Reciproca teoremei lui Thales
Dacă o dreaptă determină pe două laturi ale unui triunghi sau pe prelungirile acestora segmente proporționale, atunci ea este paralelă cu a treia latură a triunghiului.
Thales din Milet
Thales din Milet a fost un filozof grec care a contribuit la dezvoltarea matematicii, astronomiei și filosofiei. Este considerat părintele științelor. (wikipedia.org)
1. În triunghiul ABC cu lungimile laturilor AB = 6cm și AC = 9 cm fie MN paralelă cu BC astfel încât AM = \(\frac{2}{3}\) · AB, M ∈ AB și N ∈ AC. Să se calculeze lungimile AN, NC.
Din Teorema lui Thales rezultă că
: \(\frac{AM}{MB}\) = \(\frac{AN}{NC}\)
.
AM = \(\frac{2}{3}\) · AB
⇒
AM = \(\frac{2}{3}\) · 6
⇒
AM = 4cm
.
\(\frac{4}{6 – 4}\) = \(\frac{AN}{NC}\)
.
\(\frac{AN}{NC}\) = 2
.
AN = 2NC
AN + NC = 9
Îl substituim pe AN în a doua ecuație.
2NC + NC = 9
3NC = 9
⇒
NC = 3 și AN = 6
.
Mai putem să ne gândim așa: Dacă MN ǁ BC și raportul dintre AM și MB este 2 atunci și raportul dintre AN și NC este tot 2. Dacă AM este dublul lui MB atunci și AN este dublul lui NC.
2. În triunghiul ABC fie 2 puncte M și N situate pe AB, respectiv BC astfel încât AM = 4 cm, MB = 3 cm, BN = 9 cm și BC = 21 cm. Realizați desenul și arătați că MN este paralelă cu AC.
Verificăm reciproca Teoremei lui Thales
:
\(\frac{AM}{MB}\) = \(\frac{NC}{BN}\) ?
.
\(\frac{4}{3}\) = \(\frac{21 – 9}{9}\) ?
.
\(\frac{4}{3}\) = \(\frac{12}{9}\) ?
.
\(\frac{4}{3}\) = \(\frac{4}{3}\)
(adevărat!)
.
MN este paralelă cu AC conform reciprocei Tteoremei lui Thales.
3. Demonstrează că DE este paralelă cu MN în figura de mai jos dacă x este un număr rațional pozitiv:
Verificăm reciproca teoremei lui Thales
:
.
\(\frac{OD}{DM}\) = \(\frac{OE}{EN}\) ?
.
\(\frac{2x}{x}\) = \(\frac{2x+4}{x+2}\) ?
.
\(\frac{2}{1}\) = \(\frac{2(x+2)}{x+2}\) ?
2 = 2
(adevărat!)
DE este paralelă cu MN din reciproca teoremei lui Thales.
4. Determinați dacă dreptele BC și MN sunt paralele în fiecare caz. Numerele reprezintă aceleași unități de măsură.
Verificăm reciproca Teoremei lui Thales în primul triunghi
:
\(\frac{AM}{MC}\) = \(\frac{AN}{NB}\) ?
.
\(\frac{3,5}{4}\) = \(\frac{5}{6}\) ?
.
Aplicăm produsul mezilor = produsul extremilor
3,5 · 6 = 5 · 4
(fals!)
Putem spune acum că în primul caz NM nu este paralelă cu BC.
Verificăm reciproca Teoremei lui Thales în al doilea triunghi
:
.
\(\frac{AB}{BM}\) = \(\frac{AC}{CN}\) ?
.
\(\frac{0,2}{0,8}\) = \(\frac{0,24}{0,96}\) ?
.
Verificăm dacă produsul mezilor = produsul extremilor
0,2 · 0,96 = 0,24 · 0,8
0,192 = 0,192
(adevărat!)
În al doilea caz BC este paralelă cu MN.
