Cercul

Aria cercului

Aria cercului, explicație

Aria cercului și numărul π

O istorie a mumărului π

Aria cercului este calculată cu formula: A cerc = π·R ²

Definiție

Figura geometrică delimitată de două raze OA și OB ale aceluiași cerc C(O,R ), împreună cu arcul de cerc cu capetele A și B se numește sector de cerc.

Aria sectorului de cerc este direct proporțională cu măsura arcului de cerc corespunzător.

1. Să se calculeze aria cercului cu diametrul egal cu \(6\sqrt{3}\) cm.

Rezolvare

D = 2R ⇒ R = d : 2 ⇒ R = \(\frac{6\sqrt{3}}{2}\) = \(3\sqrt{3}\) cm
‎ Aria cercului = 𝝅 R ² = 𝝅 \((3\sqrt{3})^{2}\) = 𝝅 · 9 · 3 = 27 𝝅 cm ²

2. Să se afle aria cercurilor înscris și circumscris pătratului cu latura egală cu 6 cm.

Rezolvare

‎ Diagonala pătratului este diametrul cercului circumscris.
‎ Din Teorema lui Pitagora: diagonala ² = latura ² + lagura ²
‎ diagonala = latura · \(\sqrt{2}\) = \(6\sqrt{2}\)
‎ Raza = diagonla : 2 = \(3\sqrt{2}\) cm
‎ Aria cercului circumscris = 𝝅 R ² = 𝝅 \((3\sqrt{2})^{2}\) = 𝝅 · 9 · 2 = 18 𝝅 cm ²
‎ Latura pătratului are dimensiunea diametrului cercului înscris.
‎ r = 6 : 2 = 3 cm
‎ Aria cercului înscris = 𝝅 r ² = 𝝅 · 3 ² = 9 𝝅 cm ²

3. Care este aria cercului înscris pătratului cu diagonala egală cu 10cm?

Rezolvare

‎ Latura pătratului are dimensiunea diametrului cercului.
‎ Din Teorema lui Pitagora: diagonala ² = latura ² + latura ²
‎ diagonala = latura · \(\sqrt{2}\)
‎ latura = \(\frac{diagonala}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{10}{\sqrt{2}}\)
‎ raza R = \(\frac{latura}{2}\) =\(\frac{10}{\sqrt{2}}\) · \(\frac{1}{2}\) =
‎ \(\frac{5}{\sqrt{2}}\)
‎ Aria cercului înscris = 𝝅R ² = 𝝅 · \((\frac{5}{\sqrt{2}})^{2}\) = \(\frac{25}{2}\) 𝝅 cm ²

4. Arătați că aria verde din desenul de mai jos este egală cu 5 𝝅 (2r + 5). Ce valoare are aria verde dacă r = 2cm ?
‎

Rezolvare

Aria verde = Aria cercului mare – Aria cercului mic = 𝝅 (r + 5) ² – 𝝅 r ² = 𝝅 (r + 5)(r + 5) – 𝝅 r ² =
‎ 𝝅 ( r ² + 5r + 5r + 25) – 𝝅 r ² = 𝝅( r ² + 10r + 25) – 𝝅 r ² = 𝝅 r ² + 10 𝝅 r + 25 𝝅 – 𝝅 r ² = 10 𝝅 r + 25 𝝅 =
‎ 5 𝝅 (2r + 5)
‎ Da că r = 2 atunci Aria = 5 𝝅 (2·2 + 5) = 5 𝝅 ·9 = 45 𝝅