Patrulatere

Pătratul

Pătratul este un paralelogram special. Pătratul este paralelogramul cu toate laturile de aceeași măsură și cu un unghi drept.

Pătratul este un romb special. Pătratul este rombul cu un unghi drept.

Pătratul este un dreptunghi special. Pătratul este un dreptunghi cu toate laturile de aceeași lungime.

Patrulaterul care este și dreptunghi și romb este pătrat.

Pătratul are toate proprietățile paralelogramului, rombului și dreptunghiului în același timp.

Proprietățile pătratului

 Pătratul este un patrulater.

 Pătratul este un paralelogram.

 Pătratul este un romb.

 Pătratul este un dreptunghi.

 Pătratul are toate unghiurile drepte.

 Pătratul are toate laturile de aceeași lungime.

 Diagonalele pătratului se intersectează în mijlocul lor.

 Diagonalele pătratului sunt perpendiculare.

 Diagonalele pătratului au aceeași lungime.

 Diagonalele pătratului sunt și bisectoare.

 Diagonalele pătratului sunt axe de simetrie în pătrat.

 Pătratul are patru axe de simetrie.

1. Desenați un pătrat ABCD cu diagonala de 8 cm. Ce lungime are latura lui? Desenați pătratul pe caiet folosind rigla gradată. Calculați cu precizie milimetrică și apoi măsurați latura lui folosind rigla gradată.

Rezolvare

Aplicăm Teorema lui Pitagora în triunghiul ABD știind că cele două catete au aceeași lungime. DB ² = AB ² + AD ^2
‎ DB ² = 2AB ²
‎ 36 = 2AB ²
‎ 18 = AB ^2
‎ AB = 3 \(\sqrt{2}\) ≃ 3 · 1,4 = 4,2cm = 42mm

2. Dacă triunghiurile dreptunghice isoscele ABC și DBC au ipotenuza comună BC iar punctele A și D sunt în semiplane diferite față de dreapta BC, să se demonstreze că ABDC este pătrat.

‎ Rezolvare

În triunghiurile ABC și DBC avem BC = BC(latură comună) și ∢ ABC = ∢ BCD = 45 ^o ⇒ conform criteriului IU(ipotenuză unghi) △ ABC și DBC sunt congruente. ⇒ AB = BD =DC = CA ⇒ ABDC este romb.
‎ ∢ BAC = 90° ⇒ ABDC este pătrat.

3. Pe diagonala pătratului ABCD construiți pătratul ACEF. Demonstrați că aria pătratului ACEF este dublul ariei pătratului ABCD.

Rezolvare

‎ Notăm cu a latura pătratului ABCD și cu b latura pătratului ACEF.
‎ Aplicăm Teorema lui Pitagora în triunghiul DAC : b ² = 2a ²
‎ Aria pătratului ABCD = a ²
‎ Aria pătratului ACEF = b ²
‎ Din cele de mai sus rezultă că Aria pătratului ACEF = 2 ·Aria pătratului ACEF.
‎ Demonstrație grafică
‎

Observăm că triunghiurile DAC, BAC, BCE, BEF, BFA sunt congruente și au aceeași arie. Notăm această arie cu "A".
‎ Aria □ABCD = 2A
‎ Aria □ACEF = 4A ⇒ Aria □ACEF = 2 · □ABCD

4. ABCD este pătrat. Găsiți măsura unghiului p din desenul de mai jos.

Rezolvare

Notăm unghiurile AED și EDC cu n respectiv m.
‎
‎ ∢ m = 180 ^o – 44 ^o – 84 ^o = 52 ^o
‎ AE || CD ⇒ ∢ p = ∢ m = 52 ^o - unghiuri alterne interne

5. Se cere să se calculeze lungimea diagonalei AC într-un pătrat ABCD cu latura de 4 cm.

Rezolvare

‎ ABCD – pătrat => triunghiul ABC este un triunghi dreptunghic isoscel =>
‎ AC ² = AB ² + AC ²
‎ AC ² = 4 ² + 4 ²
‎ AC ² = 16 + 16 = 32 => AC = \(\sqrt{32}\) = \(4\sqrt{2}\)

6. Să se calculeze perimetrul triunghiului AOB unde punctul O reprezintă intersecția diagonalelor unui pătrat ABCD cu latura de 6 cm.
‎

Rezolvare

‎ ABCD – pătrat cu latura de 6 cm => AC = DB = 6 cm.
‎ AO = OB = \(\frac{6\sqrt{2}}{2}\) = \(3\sqrt{2}\)
‎ Perimetrul triunghiului = 6 + \(6\sqrt{2}\) cm

Glume cu tâlc

Explicați expresia subliniată în versurile de mai jos.

Cu cap pătrat și mintea rătăcită

Nu poți ajunge-n cercuri de elită.

Preluare după David Valentin.

Nice, Franța, sculptură contemporană aflată în Parcul Artelor.