Mulțimea numerelor reale
Raționalizarea numitorului
1.
Raționalizează numitorii și simplifică, dacă este cazul:
\(\frac{3}{3\sqrt{6}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\frac{12}{7\sqrt{2}}\)
\(\frac{25}{\sqrt{5}}\)
Rezolvare
\(\frac{3}{3\sqrt{6}}\) = \(\frac{3\sqrt{6}}{3\sqrt{6}·\sqrt{6}}\) = \(\frac{3\sqrt{6}}{3 · 6}\) = \(\frac{\sqrt{6}}{6}\)
.
\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} ·\sqrt{3}}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
.
\(\frac{12}{7\sqrt{2}}\) = \(\frac{12\sqrt{2}}{7\sqrt{2} · \sqrt{2}}\) = \(\frac{12\sqrt{2}}{7 · 2}\) = \(\frac{6\sqrt{2}}{2}\)
.
\(\frac{25}{\sqrt{5}}\) = \(\frac{25\sqrt{5}}{5}\) = \(5\sqrt{5}\)
2.
Să se calculeze, după raționalizarea numitorilor: \(\frac{3}{\sqrt{6}}\) + \(\frac{5}{\sqrt{10}}\)=
Rezolvare
\(\frac{3}{\sqrt{6}}\) + \(\frac{5}{\sqrt{10}}\) = \(\frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{6} · \sqrt{6}}\) + \(\frac{5\sqrt{10}}{\sqrt{10} · \sqrt{10}}\) = \(\frac{3\sqrt{6}}{6}\) + \(\frac{5\sqrt{10}}{10}\) = \(\frac{\sqrt{6}}{2}\) + \(\frac{\sqrt{10}}{2}\) = \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{10}}{2}\)
3.
Simplifică fracția: \(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{8} + \sqrt{16}}\)
Rezolvare
a) \(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + 2\sqrt{2} + 4}\) =
\(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} + 2\sqrt{2} + 2}\) =
\(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} · \sqrt{3} + 2\sqrt{2} + \sqrt{2} · \sqrt{2}}\) =
\(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2)}\) =
\(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2}{(\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2)(1 + \sqrt{2})}\) =
\(\frac{1}{1 + \sqrt{2}}\)
Raționalizăm numitorul amplificând fracția cu
\(1 - \sqrt{2}\):
\(\frac{1}{1 + \sqrt{2}}\) = \(\frac{1 - \sqrt{2}}{(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}\) = \(\frac{1 - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{2} - 2}\) = \(\frac{1 - \sqrt{2}}{-1}\) = \(\sqrt{2} - 1\)
