Mulțimea numerelor reale

Modulul unui număr real

Modulul unui număr real reprezintă distanța de la origine la punctul de pe axa numerelor corespunzător acelui număr.

Fie a un număr real. Modulul numărului a se mai numește valoarea absolută a numărului a și se notează cu |a|.

Propriet ăți ale modulului numerelor reale :

- Modulul oricărui număr real este un număr pozitiv sau este zero.

- Modulul unui număr real este 0 dacă și numai dacă numărul este egal cu 0.

- Două numere opuse au același modul.

Pentru că modulul unui număr real este tot timpul pozitiv scriem:

|x| ≥ 0 pentru orice x ∈ ℝ
‎
‎ |x| = x pentru orice x ∈ ℝ , x > 0
‎ |0| = 0
‎ |x| = –x pentru orice x ∈ ℝ , x < 0

deci
‎ |x| = |–x|

Pentru că pătratul unui număr real este pozitiv putem scrie:
‎

|x + y| ≤ |x| + |y|

De exemplu:
‎ |7 + (– 2)| ≤ |7| + |– 2|

|x · y| = |x| · |y|

‎ |x ⁿ | = |x| ⁿ

1. Să se calculeze modulul următoarelor numere: 2,(2); – 5 ² ; – 4,2 și –\(\sqrt{6,3}\)

Rezolvare

|2,(2)| = 2,(2)
‎ |– 5 ² | = 5 ² = 25
‎ |– 4,2 | = 4,2
‎ |–\(\sqrt{6,3}\)| = \(\sqrt{6,3}\)

2. Care sunt numerele care au modulul egal cu 3,4 ?

Rezolvare

Numerele care au modulul egal cu 3,4 sunt 3,4 și –3,4.

3. Care sunt soluțiile ecuației 9x ² = 225 ?

Rezolvare

x ² = 225 : 9 = 25
‎ |x| = 5
‎ Ecuația are două soluții:
‎ x = 5
‎ x = – 5

4. Găsiți toate numerele întregi " a" pentru care |a| < 3.

Rezolvare

a ∈ { –2, –1, 0, 1, 2 }

5. Dintre două numere reale pozitive, este mai mare cel care are modulul mai ...
‎ Dintre două numere reale negative, este mai mare cel care are modulul mai ...

Rezolvare

Dintre două numere reale pozitive, este mai mare cel care are modulul mai mare.
‎ Dintre două numere reale negative, este mai mare cel care are modulul mai mic.

6. Fie a și b două numere reale cu |a| < |b|. Comparați numerele a și b dacă ambele sunt pozitive și apoi dacă ambele sunt negative. Dați câte un exemplu pentru fiecare caz.

Rezolvare

Dacă a > 0 și b > 0 atunci a < b. Exemplu: |3| < |5|, 3 < 5.
‎ Dacă a < 0 și b < 0 atunci a > b. Exemplu: | – 3| < | – 5|, – 3 > – 5

‎ 7. Determinați dacă numerele următoare sunt pozitive sau negative * :

A = |3 – \(\sqrt{2}\) – 1| – |\(\sqrt{2}\) + 1| =
‎ B = |\(\sqrt{2}\) + 5| · |\(\sqrt{2}\) – 5| =
‎ C = –|7 – \(\sqrt{2}\) – 6| – |\(\sqrt{2}\) – 2| =

*\(\sqrt{2}\) ≃ 1,4142

‎ Rezolvare

A = |2 – \(\sqrt{2}\)| – |\(\sqrt{2}\) + 1|
‎ 2 – \(\sqrt{2}\) > 0 ⇒ |2 – \(\sqrt{2}\)| = 2 – \(\sqrt{2}\)
‎ A = 2 – \(\sqrt{2}\) – (\(\sqrt{2}\) + 1) =
‎ 2 – \(\sqrt{2}\) – \(\sqrt{2}\) – 1 = 1 – 2\(\sqrt{2}\) < 0
‎ .
‎ B > 0 pentru că este produsul a două numere pozitive.
‎ .
‎ 7 – \(\sqrt{2}\) – 6 = 1 – \(\sqrt{2}\) < 0 ⇒ | 1 – \(\sqrt{2}\)| = \(\sqrt{2}\) – 1
‎ \(\sqrt{2}\) – 2 < 0 ⇒| \(\sqrt{2}\) – 2| = 2 – \(\sqrt{2}\)
‎ C = – (\(\sqrt{2}\) – 1) – (2 – \(\sqrt{2}\)) =
‎ – \(\sqrt{2}\) + 1 – 2 + \(\sqrt{2}\)) = – 1 < 0

Glume cu tâlc!

1. Cum explicați?

Rezolvare

O greșeală frecventă este să omitem modulul atunci când scoatem factorii de sub radical. În mulțimea numerelor reale valoarea radicalului este întotdeauna un număr pozitiv.

2. Unde este greșeala? Ce personaje recunoașteți?

Rezolvare

1 = \(\sqrt{1}\) → corect
‎ 1 = \(\sqrt{(–1)· (–1)}\) → corect pentru c ă (–1)· (–1) = 1
‎ → scoaterea de sub radical este incorect efectuată pentru că \(\sqrt{x^2}\) = |x|
‎
‎ De la stânga la dreapta:
‎ Stephen Hawking - a fost un fizician englez, teoretician al originii universului și unul dintre cei mai mari cosmologi contemporani, profesor la catedra de matematică de la Universitatea Cambridge .
‎ https://ro.wikipedia.org/wiki/Stephen_Hawking
‎
‎ Albert Einstein - a fost un fizician teoretician evreu , născut în Germania , apatrid din 1896, elvețian din 1899, emigrat în 1933 în SUA , naturalizat american în 1940, profesor universitar la Berlin și Princeton . A fost autorul teoriei relativității și unul dintre cei mai străluciți oameni de știință ai omenirii.
‎ https://ro.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein
‎
‎ Neil deGrasse Tyson – este un astrofizician și autor american. Tyson a studiat la Universitatea Harvard, Universtitatea Texas din Austin și Universitatea Columbia. A fost cercetător postdoctoral asociat la Universitatea Princeton. În 2017 a luat medalia "Stephen Hawking pentru comunicarea științei. "
‎ https://en.wikipedia.org/wiki/Neil_deGrasse_Tyson
‎