Mulțimea numerelor reale Operații cu radicali
Selecție de lecții videoMulțimea numerelor reale
Operații cu radicali
Pentru oricare două numere reale pozitive x și y :
\(\sqrt{x} · \sqrt{y} = \sqrt{x · y}\)
\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\) = \(\sqrt{\frac{x}{y}}\) dacă y ≠ 0
Exemple:
\(\sqrt{25} · \sqrt{4}\) = \(\sqrt{25 · 4}\) = \(\sqrt{100}\) = 10
\(\sqrt{25} · \sqrt{4}\) = 5 · 2 = 10
\(\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}}\) = \(\sqrt{\frac{36}{4}}\) = \(\sqrt{9}\) = 3
Pentru adunare și scădere nu au loc aceste relații :
Exemplu:
\(\sqrt{9 + 25}\) = \(\sqrt{36}\) = 6 dar
\(\sqrt{9} + \sqrt{25}\) = 3 + 5 = 8
Pentru orice numer real pozitiv n:
n = \(\sqrt{n^2}\)
Exemplu:
7 = \(\sqrt{7^2}\) = \(\sqrt{49}\)
Exerciții
1. Să se calculeze: \(\sqrt{9 + 4}\) + \(\sqrt{144 + 25}\) =
\(\sqrt{9 + 4}\) + \(\sqrt{144 + 25}\) = \(\sqrt{25}\) + \(\sqrt{169}\) = 5 + 13 = 18
2.
Calculați: \(\sqrt{16}\) · \(\sqrt{4}\)
în două moduri.
\(\sqrt{16}\) · \(\sqrt{4}\) = 4 · 2 = 8
sau
\(\sqrt{16}\) · \(\sqrt{4}\) = \(\sqrt{64}\) = 8
3. Să se afle rezultatul calculului: \(\sqrt{12 · 6 ^2 · 3 } \) =
\(\sqrt{12 · 6^2 · 3}\) = \(\sqrt{2^2 · 3 · 6^2 · 3}\) = \(\sqrt{2^2 · 3^2 · 6^2}\) = 36
4. Rezolvați : \(\sqrt{x^2 – 36}\) = 8
x
2
– 36 = 64
x
2
= 64 + 36 = 100
|x| = \(\sqrt{100}\) = 10
Ecuația are două soluții
: x
1
= 10; x
2
= –10
5. Calculează rădăcina pătrată a numerelor 1,44 și 1,69.
\(\sqrt{1,44}\) = \(\sqrt{\frac{144}{100}}\) = \(\frac{12}{10}\) = 1,2
\(\sqrt{1,69}\) = \(\sqrt{\frac{169}{100}}\) = \(\frac{13}{10}\) = 1,3
6. Calculează până la o fracție ireductibilă : \(\sqrt{0,81}\) + \(\sqrt{\frac{196}{225}}\) = ?
\(\sqrt{0,81}\) + \(\sqrt{\frac{196}{225}}\) = 9 + \(\frac{14}{15}\) = \(\frac{149}{15}\)
Extragerea rădăcinii pătrate prin descompunere în factori primi
7. Află următoarele numere naturale : \(\sqrt{14 400}\); \(\sqrt{23 716}\); \(\sqrt{24 336}\)
\(\sqrt{14 400}\) = \(\sqrt{10^2 · 12^2}\) = 10 · 12
= 120
\(\sqrt{23 716}\) = \(\sqrt{2^2 · 7^2 · 11^2}\) = 2 · 7 · 11 = 154
\(\sqrt{24 336}\) = \(\sqrt{2^4 · 3^2 · 13^2}\) = 4 · 3 · 13 = 156
8.
Află următoarele numere
naturale
:
\(\frac{\sqrt{148 225}}{\sqrt{1 225}}\);
.
\(\frac{\sqrt{24 336}}{\sqrt{144}}\);
.
\(\frac{\sqrt{115 600}}{\sqrt{4 624}}\).
\(\frac{\sqrt{148 225}}{\sqrt{1 225}}\) = \(\frac{\sqrt{5^2 · 7^2 · 11^2}}{\sqrt{5^2 · 7^2}}\) = \(\frac{5 · 7 · 11}{5 · 7}\) = 11
.
\(\frac{\sqrt{24 336}}{\sqrt{144}}\) = \(\frac{\sqrt{2^4 · 3^2 · 13^2}}{2^4 · 3^2}\) = \(\frac{2^2 · 3 · 13}{2^2 · 3}\) = 13
.
\(\frac{\sqrt{115 600}}{\sqrt{4 624}}\) = \(\frac{\sqrt{2^4 · 5^2 · 17^2}}{\sqrt{17^2 · 2^4}}\) = \(\frac{2^2 · 5 · 17}{17 · 2^2}\) = 5
.
Probabil o metodă mai bună ar putea fi să simplificăm fracția înainte de extragerea radicalului. Încearcă o astfel de rezolvare! Cum îți pare mai simplu?
9.
Fie a și b numere reale strict pozitive. Extrage rădăcina pătrată din expresiile
:
\(\sqrt{a^8 · b^{10}}\) =
\(\sqrt{a^6 · b^4}\) =
\(\frac{\sqrt{a^2 · b^6}}{\sqrt{b^2}}\) =
\(\sqrt{a^8 · b^{10}}\) =
\(a^4· b^5\)
\(\sqrt{a^6 · b^4}\) = \(a^3 · b^2\)
\(\frac{\sqrt{a^2 · b^6}}{\sqrt{b^2}}\) = \(\frac{a · b^3}{b}\) = \(a · b^2\)
Introducerea factorilor în radical
Putem introduce factorii sub radical în felul următor :
dacă a ≥ 0 și b ≥ 0
Exemplu:
\(2\sqrt{3} = \sqrt{2^2·3} = \sqrt{4 · 3} = \sqrt{12}\)
10. Introdu factorii sub radical :
\(5\sqrt{7}\) = \(\sqrt{5^2 · 7}\) = \(\sqrt{25 · 7}\) = \(\sqrt{175}\)
\(10\sqrt{2}\) =
\( – 2^2\sqrt{3}\) =
\(3^2\sqrt{2^3}\) =
\(13\sqrt{5}\) =
\(10\sqrt{2}\) = \(\sqrt{10^2 · 2}\) = \(\sqrt{100 · 2}\) = \(\sqrt{200}\)
\( – 2^2\sqrt{3}\) = \( – \sqrt{2^4 · 3}\) = \( – \sqrt{16 · 3}\) = \( – \sqrt{48}\)
\(3^2\sqrt{2^3}\) = \(\sqrt{3^4 · 2^3}\) = \(\sqrt{81 · 8}\) = \(\sqrt{648}\)
\(13\sqrt{5}\) = \(\sqrt{13^2 · 5}\) = \(\sqrt{168 · 5}\) = \(\sqrt{845}\)
11. Introdu factorii sub radical și simplifică :
\(2\sqrt{\frac{5}{12}}\) = \(\sqrt{2^2 · \frac{5}{12}}\) = \(\sqrt{4 · \frac{5}{12}}\) = \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)
\(6\sqrt{\frac{10}{18}}\) =
\(7\sqrt{\frac{45}{35}}\) =
\(3^2\sqrt{\frac{50}{270}}\) = \(\sqrt{3^4 · \frac{50}{270}}\) = \(\sqrt{3^4 · \frac{50}{3^3 · 10}}\) = \(\sqrt{\frac{3 · 50}{10}}\) =\(\sqrt{3 · 5}\) =\(\sqrt{15}\)
\(6\sqrt{\frac{10}{18}}\) = \(\sqrt{\frac{6^2 · 10}{18}}\) = \(\sqrt{\frac{6 · 10}{3}}\) = \(\sqrt{\frac{2 · 10}{1}}\) = \(\sqrt{20}\)
\(7\sqrt{\frac{45}{35}}\) = \(\sqrt{\frac{7^2 · 45}{35}}\) = \(\sqrt{\frac{7 · 45}{5}}\) = \(\sqrt{7 · 9}\) = \(\sqrt{63}\)
Scoaterea factorilor de sub radical
Putem scoate factorii de sub radical în felul următor :
12. Scoate factorii de sub radical :
a) \(\sqrt{180}\) =
b) \(\sqrt{1000}\) =
c) \(\sqrt{1575}\) =
d) \(\sqrt{338}\) =
e) \(\sqrt{3^2 · 5 · 2^2}\) =
f) \(\sqrt{5^6 · 25 · 8}\) =
g) \(\sqrt{\frac{2^5}{3^10}}\) =
a) \(\sqrt{180}\) =
\(\sqrt{3^2 · 2^2 · 5}\)
= \(3 · 2 · \sqrt{5}\) = \(6\sqrt{5}\)
b) \(\sqrt{1000}\) = \(\sqrt{10^2 · 10}\) = \(10\sqrt{10}\)
c) \(\sqrt{1575}\) = \(\sqrt{5^2 · 3^2 · 7}\) = \(5 · 3 · \sqrt{7}\) = \(15\sqrt{7}\)
d) \(\sqrt{338}\) = \(\sqrt{13^2 · 2}\) = \(13\sqrt{2}\)
e) \(\sqrt{3^2 · 5 · 2^2}\) = \(3 · 2 · \sqrt{5}\) = \(6\sqrt{5}\)
f) \(\sqrt{5^6 · 25 · 8}\) = \(\sqrt{5^6 · 5^2 · 2^3}\) = \(\sqrt{5^8 · 2^3}\) = \(5^4 · 2\sqrt{2}\) = \(1250\sqrt{2}\)
g) \(\sqrt{\frac{2^5}{3^10}}\) = \(\frac{2^2}{3^5}\sqrt{\frac{2}{1}}\) = \(\frac{2^2}{3^5}\sqrt{2}\)
Glume cu tâlc
Explicați și efectuați simplificarea cu \(\sqrt{2}\) în mod corect!
Semnul radicalului fără un număr în interior nu are sens. Dacă chiar dorim să simplificăm cu \(\sqrt{2}\) atunci
:
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
