Mulțimea numerelor reale

Rădăcina pătrată

Fie x ∈ ℕ , pătrat perfect. Se numește rădăcina pătrată a numărului x numărul natural n cu proprietatea x = n ² .

Scriem \(\sqrt{x}\) = n și citim: radical din x este egal cu n.

Numărul n se mai numește și radicalul de ordinul 2 al numărului x.

Operația prin care se află rădăcina pătrată a unui număr se numește "extragere a rădăcinii pătrate " sau "extragerea radicalului".

Exemple :

6 ² = 36 atunci \(\sqrt{36}\) = 6

10 ² = 100 atunci \(\sqrt{100}\) = 10

Extragerea rădăcinii pătrate este operația inversă ridicării la pătrat.

Pentru orice număr natural n, \(\sqrt { n^2}\) = n.

\(\sqrt{0}\) = 0

\(\sqrt{1}\) = 1

\(\sqrt{4}\) = 2

\(\sqrt{9}\) = 3

\(\sqrt{16}\) = 4

\(\sqrt{25}\) = 5

\(\sqrt{36}\) = 6

\(\sqrt{49}\) = 7

\(\sqrt{64}\) = 8

\(\sqrt{81}\) = 9

\(\sqrt{100}\) = 10

\(\sqrt{121}\) = 11

\(\sqrt{144}\) = 12

\(\sqrt{169}\) = 13

\(\sqrt{196}\) = 14

\(\sqrt{225}\) = 15

\(\sqrt{256}\) = 16

1. Suprafața unei grădini în formă de pătrat este de 25 m ² . Care este latura pătratului și care este lungimea totală a bordurii care împrejmuiește această grădină?

Rezolvare

Aria pătratului este latura ² .
‎ latura ² = 25 m ²
‎ latura = \(\sqrt{25}\) = 5 m
‎ Perimetrul pătratului este latura · 4 = 5 · 4 = 20 m

2. Calculați \(\sqrt{225}\) + \(\sqrt{{14}^2}\) + \(\sqrt{1}\) .

Rezolvare

\(\sqrt{225}\) + \(\sqrt{{14}^2}\) + \(\sqrt{1}\) = 15 + 14 + 1 = 30

3. Câte pătrate perfecte de două cifre există? Dar de trei cifre?
‎ Puteți folosi calculatorul de buzunar pentru a descoperi pătratele de trei cifre.

Rezolvare

Sunt 6 pătrate perfecte de două cifre : 16, 25, 36, 49, 64, 81
‎ Sunt 22 pătrate perfecte de trei cifre : 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961

4. Calculează \(\sqrt{9}\) · \(\sqrt{25}\) – \(\sqrt{49}\) + \(\sqrt{121}\) =

Rezolvare

\(\sqrt{9}\) · \(\sqrt{25}\) – \(\sqrt{49}\) + \(\sqrt{121}\) = 3 · 5 – 7 + 11 = 15 – 7 + 11 = 19

5. Compară numerele \(\sqrt{9}\) + \(\sqrt{16}\) și \(\sqrt{9 + 16}\).

Rezolvare

\(\sqrt{9}\) + \(\sqrt{16}\) = 3 + 4 = 7
‎ \(\sqrt{9 + 16}\) = \(\sqrt{25}\) = 5
‎ 7 > 5 deci \(\sqrt{9}\) + \(\sqrt{16}\) > \(\sqrt{9 + 16}\)

6. Fie mulțimea A = {4, 16, 32, 64, 128, 144, 256, 72, 8, 1}. Să se scrie B = {x |x  A, \(\sqrt{x}\) ∈ ℕ }

Rezolvare

B = {4, 16, 64, 144, 256, 1}

7. Ce valori poate lua x ca număr întreg mai mic decât 20 dacă \(\sqrt{x – 3}\) este un num ăr natural?

Rezolvare

x – 3 > 0 și trebuie să fie pătrat perfect
‎ Primele pătrate perfecte sunt 0, 1, 4, 9, 16, 25
‎ Dacă x – 3 = 0 atunci x = 3
‎ Dacă x – 3 = 1 atunci x = 4
‎ ș.a.m.d.
‎ x ∈ {3, 4, 7, 12, 19}