Triunghiul

Congruența triunghiurilor oarecare

Cazul L.L.L.

Cazul L.U.L

Cazul U.L.U.

Două triunghiuri sunt congruente dacă au laturile și unghiurile, respectiv congruente.

Triunghiurile ABC și DEF sunt congruente dacă următoarele 6 relații sunt adevărate :

 AB ≡ DE

 AC ≡ DF

 BC ≡ EF

 ∢ A ≡ ∢ D

 ∢ B ≡ ∢ E

 ∢ C ≡ ∢ F
‎

Perechile de laturi congruente se numesc laturi omoloage.

De exemplu AB și DE sunt laturi omoloage.

Perechile de unghiuri congruente se numesc unghiuri omoloage.

De exemplu ∢ A și ∢ D sunt unghiuri omoloage.

1. Desenați triunghiul △ DBC ≡ △ ABC unde punctul D este diferit de punctul A. Care sunt elementele omoloage în aceste triunghiuri? ]]
‎

Rezolvare

2. Punctul B este simetricul punctului E față de punctul A. Punctul D este simetricul punctului C față de A. Demonstrați că triunghiurile ABC și AED sunt congruente știind că DE ǁ BC și DE ≡ BC . Scrieți laturile și unghiurile omoloage din aceste două triunghiuri congruente.
‎ Este importantă alegerea elementelor omoloage pentru a demonstra congruența în acest caz? De ce?

Rezolvare

‎ Scriem cele șase congruențe dintre elementele omoloage:
‎ ∢ D ≡ ∢ C unghiuri alterne interne
‎ ∢ E ≡ ∢ B unghiuri alterne interne
‎ ∢ DAE ≡ ∢ BAC unghiuri opuse la vârf
‎ DE ≡ BC
‎ AD ≡ AC – din simetria dată
‎ AE ≡ AB – din simetria dată
‎ ⇒ △ ABC ≡ △ AED
‎ Pentru a demonstra congruența triunghiurilor trebuie să demonstrăm congruența elementelor omoloage. Alegerea elementelor omoloage este importantă deoarece DE ≡ BC însă DE ≢ AB.

3. Triunghiurile ABC și ABD sunt echilaterale cu latura de 10 cm. Realizați desenul și demonstrați că △ ABC ≡ △ ABD.

Rezolvare

‎ Scriem cele șase congruențe dintre elementele omoloage:
‎ Măsura unghiurilor într-un triunghi echilateral este de 60 ^o .
‎ Într-un triunghi echilateral, cele trei laturi sunt congruente.
‎ ∢ BDA ≡ ∢ BCA
‎ ∢ BAD ≡ ∢ BAC
‎ ∢ ABD ≡ ∢ ABC
‎ AB = AB
‎ DB ≡ BC
‎ AD ≡ AC
‎ ⇒ △ ABC ≡ △ ABD
‎ În acest caz, toate laturile au aceeași măsură, deci toate sunt congruente și toate unghiurile au aceeași măsură deci sunt și ele congruente.
‎ AB ≡ DB ≡ BC ≡ AD ≡ AC
‎ ∢ BDA ≡ ∢ BCA ≡ ∢ BAD ≡ ∢ BAC ≡ ∢ ABD ≡ ∢ ABC
‎ Pentru ca două triunghiuri echilaterale să fie congruente este suficientă să arătăm că au latura de aceeași măsură.

Criterii de congruență a triunghiurilor oarecare

Criteriul LLL (latură, latură, latură) de congruență a triunghiurilor.

Criteriul LUL (latură, unghi, latură) de congruență a triunghiurilor

Criteriul ULU (unghi, latură, unghi) de congruență a triunghiurilor