Numere întregi

Ecuații cu numere întregi

Ecuații echivalente

Pisica și broasca

Problema pătratelor

O  ecuație  este o  propoziție  matematică ce afirmă că două  expresii matematice  sunt egale doar pentru anumite valori ale  variabilelor  implicate în acestea sau chiar pentru nicio valoare.

Valorile variabilelor pentru care egalitatea este adevărată poartă numele de  soluții .

Exemplu :

2x + 10 = 32 unde x ∈ ℤ

Cum aflăm valorile necunoscutei x, număr întreg, astfel încât identitatea de mai sus să fie adevărată?

2x + 10 = 32
‎ 2x = 32 – 10
‎ 2x = 22
‎ x = 22 : 2
‎ x = 11
‎ Numărul întreg 11 este soluție a ecuației de mai sus.

Rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea mulțimii soluțiilor ei. O ecuație poate avea o soluție, mai multe soluții sau niciuna.

Două ecuații în care necunoscuta aparține aceleași mulțimi și care au aceleași soluții se numesc ecuații echivalente.

Proprietățile ecuațiilor

Dacă într-o ecuație trecem un termen dintr-un membru în altul cu semn schimbat, rezultă o ecuație echivalentă cu cea dată.
‎ Exemplu :
‎ 21 – 3x = 0
‎ 21 = 3x
‎ x = 7
‎

Dacă adunăm la ambii membri ai unei ecuații același număr, obținem o ecuație echivalentă cu cea dată.
‎ Exemplu

x + 5 = 10 | +2
‎ x + 5 + 2 = 10 + 2
‎ Ob ținem ecuația echivalentă x + 7 = 12
‎ Soluția acestor ecuații este x = – 5

Dacă înmulțim sau împărțim ambii membri ai unei ecuații cu un număr nenul, obținem o ecuație echivalentă cu cea dată.
‎ 2x – 14 = 10 | : 2
‎ (2x – 14) : 2 = 10 : 2
‎ x – 7 = 5
‎ x = 12

‎

1. Să se afle numărul întreg x soluție a ecuației 2x + 1 = 5.

Rezolvare

2x + 1 = 5
‎ 2x = 4
‎ x = 2

2. Aflați numărul întreg x știind că \(\frac{x}{2}\) + 3 = 19

Rezolvare

\(\frac{x}{2}\) + 3 = 19
‎ \(\frac{x}{2}\) = 19 – 3
‎ \(\frac{x}{2}\) = 16 | ·2
‎ x = 32

3. Rezolvați ecuația în mulțimea numerelor întregi: 5x – 2 = 28.

Rezolvare

5x – 2 = 28
‎ 5x = 28 + 2
‎ 5x = 30
‎ x = 30 : 5 = 6

4. Rezolvați, în mulțimea numerelor întregi, ecuațiile

a) 2 – 3 · [ –7 – (2x – 1)] = 8

b) 351 : (– 2x + 3) = – 13

c) 2 · (9 – x) – (7 – 3x) = 3 · ( – 2x + 5) – 59

Rezolvare

a) 2 – 3 · [ –7 – (2x – 1)] = 8
‎ 2 – 3 · ( –7 – 2x + 1) = 8
‎ 2 – 3 · ( –6 – 2x) = 8
‎ 2 + 18 + 6x = 8
‎ 20 + 6x = 8
‎ 6x = 20 – 8 = 12
‎ x = 2
‎
‎ b) 351 : (– 2x + 3) = 13
‎ 351 = 13 · (– 2x + 3)
‎ 351 = – 26x + 39
‎ 351 – 39 = – 26x
‎ 312 = – 26x
‎ x = –12
‎
‎ c) 2 · (9 – x) – (7 – 3x) = 3 · ( – 2x + 5) – 39
‎ 18 – 2x – 7 + 3x = – 6x + 15 – 39
‎ 11 – 2x + 3x = – 6x – 24
‎ 11 + x = – 6x – 24
‎ 6x + x = – 24 – 11
‎ 7x = – 35
‎ x = – 5
‎

5. Găsește 3 numere consecutive știind că o treime din suma lor este –13.

Rezolvare

13 · 3 = 39 (suma celor 3 numere)
‎ x + x + 1 + x + 2 = – 13 · 3 = – 39
‎ 3x + 3 = – 39
‎ 3x = 42
‎ x = 14

6. Perimetrul unui dreptunghi este de 30 cm. Știind că lungimea este de 4 ori mai mare decât lățimea, aflați lungimile laturilor dreptunghiului.

Rezolvare

P = 2 · l + 2 · L = 30
‎ L = 4l
‎ P = 2 · l + 2 · 4l
‎ P = 2l + 8l = 10l = 30
‎ 30 = 10l, deci lățimea este de 3 cm.
‎ L = 4 · 3 = 12 cm