Rapoarte și proporții Mărimi direct proporționale
Selecție de lecții videoRapoarte și proporții
Mărimi direct proporționale
Două mărimi care depind una de alta, astfel încât dacă una se mărește sau se micșorează de un număr de ori, atunci și cealaltă se mărește sau se micșorează de același număr de ori se numesc mărimi direct proporționale.
Exemplu pentru două mărimi direct proporționale :
Prețul unei cantități de mere
Greutatea acelei cantități de mere
Dacă 1kg de mere costă 4 lei atunci 2kg de mere costă 8 lei iar 3kg de mere costă 12lei . Obserbăm că dacă dublăm cantitatea se dublează și prețul. Cantitatea și prețul sunt în acest caz, mărimi direct proporționale.
1. Dacă pentru a alimenta cu 55 de litri de motorină un șofer plătește 322 lei. Cât va plăti acesta pentru 30 de litri? Dați răspunsul aproximat prin adaos la lei si bani.
55 litri ... 322 lei
30 litri ... x lei
\(\frac{55}{30}\) = \(\frac{322}{x}\)
⇒
x = \(\frac{30·322}{55}\) = \(\frac{9660}{55}\) = 175,(63)
R
: 175,64 lei
2. Un angajat al unei firme câștigă 2 100 de lei în 7 zile. Cât câștigă acesta în 4 zile?
2 100 lei ... 7 zile
x lei ... 4 zile
\(\frac{2100}{x}\) = \(\frac{7}{4}\)
⇒ x =
\(\frac{2100·4}{7}\) = \(\frac{8400}{7}\) = 1 200 lei
3. Demonstrați că cele două tabele de mai jos reprezintă o situație de proporționalitate:
|
Greutate (în kg) |
4 |
8 |
10 |
13 |
20 |
|
Prețul (în euro) |
6 |
12 |
15 |
19,5 |
30 |
|
Greutate (în kg) |
3 |
5 |
2,5 |
7 |
0,5 |
|
Prețul (în euro) |
7,2 |
12 |
6 |
16,8 |
1,2 |
Aflăm factorul de proporționalitate și demonstrăm că este valabil pentru toate valorile din tabel.
4 kg costă 6 euro, rezultă că un kg costă 6 : 4 = 1,5 euro;
8 · 1,5 =12
10 · 1,5 = 15
13· 1,5 = 19,5
20 ·1,5 = 30
3 kg costă 7,2 euro, rezultă că un kg costă 7,2 : 3 = 2,4 euro
5 · 2,4 = 12
2,5· 2,4 = 6
7 ·2,4 = 16,8
0,5 · 2,4 = 1,2]]
4. Se dau următoarele două tabele de mai jos:
Precizați, justificându-vă răspunsurile, dacă în aceste tabele sunt reprezentate mărimi proporționale.
Verificăm dacă mărimile au același coeficient de proporționalitate.
a) 0,8 : 2 = 0,4
2,8 : 7 = 0,4
4,4 : 11 = 0,4
6 : 15 = 0,4
.
b) 6 : 5 = 1,2
7,2 : 6
= 1,2
9,8 : 8 =
1,225
12 : 10 = 1,2
Primul tabel reprezintă o situație de proporționalitate, dar al doilea nu
5. Justificați că fiecare exemplu de mai jos nu reprezintă o situație de proporționalitate:
a) În timp ce merge, Iulia măsoară numărul de pași făcuți și distanța parcursă. Aici este tabelul cu valorile pe care ea le-a obținut:
|
Numărul de pași |
3 |
5 |
10 |
30 |
54 |
|
Distanța parcursă (în metri) |
1,8 |
2,8 |
6 |
18 |
32,4 |
1,8 : 3 = 0,6; 2,8 : 5 = 0,56; 6 : 10 = 0,6; 18 : 30 = 0,6; 32,4 : 54 = 0,6
Mărimile nu sunt proporționale în sens matematic pentru că nu au același coeficient de proporționalitate.
b) Clientul unui magazin cumpără în fiecare zi același tip de apă minerală. Aici este tabelul ce reprezintă cumpărăturile sale:
|
Cantitatea |
9 |
5 |
13 |
4 |
16 |
|
Prețul (în euro) |
10,8 |
6 |
15,6 |
4,6 |
25,6 |
10,8:9 = 1,2; 6:5 = 1,2; 15,6:13 = 1,2; 4,6:4 = 1,15; 25,6:16 = 1,2
Mărimile nu sunt proporționale în sens matematic pentru că nu au același coeficient de proporționalitate.
c) Iată raportul de consum al unui autoturism în raport cu distanța parcursă:
|
Distanța (în km) |
50 |
254 |
370 |
70 |
|
Consumul (în l) |
3,6 |
20,32 |
28,12 |
5,67 |
3,6:50 = 0,072; 20,32:254 = 0,08; 28,12:370 = 0,076; 5,67:70 = 0,081
Mărimile nu sunt proporționale în sens matematic pentru că nu au același coeficient de proporționalitate.
6. Tabelul de mai jos reprezintă diferitele rezoluții de ecran oferite pe un computer. Dimensiunile sunt exprimate în pixeli:
|
Ecran |
a |
b |
c |
d |
e |
f |
|
L |
800 |
1024 |
1152 |
1280 |
1280 |
1600 |
|
l |
600 |
768 |
864 |
720 |
960 |
900 |
Există două tipuri de ecran: ecranele în format 4/3 și 16/9. Ele corespund raportului dintre lăţime şi înălţime. Determinați tipul de format corespunzător fiecăruia dintre aceste monitoare.
3 : 4 = 0,75; 9 : 16 = 0,5625
600:800 = 0,75 (4/3)
768:1024 = 0,75 (4/3)
864:1152 = 0,75 (4/3)
720:1280 = 0,5625 (16/9)
960 : 1280 = 0,75 (4/3)
900 : 1600 = 0,5625 (16/9)
7. Un biciclist își desfășoară antrenamentul cu o viteză constantă.
a) Completați tabelul de proporționalitate de mai jos:
|
Durata antrenamentului (în minute) |
3 |
20 |
23 |
2 |
43 |
|
|
Distanța parcursă (în km) |
1,5 |
|
|
|
|
109,5 |
1,5 : 3 = 0,5
|
Durata antrenamentului (în minute) |
3 |
20 |
23 |
2 |
43 |
219 |
|
Distanța parcursă (în km) |
1,5 |
10 |
11,5 |
1 |
21,5 |
109,5 |
b) Mergând cu aceeași viteză, ce distanță va parcurge în 3 ore și 47 de minute?
3 ore și 47 minute = 3 · 60 + 47 = 180 + 47= 227 minute. 227: 0,5 = 454 km
8. Se ia în considerare tabelul de mai jos:
|
Greutatea portocalelor (în kg) |
3,5 |
4 |
|
Prețul (în euro) |
14 |
|
Determinați coeficientul de proporționalitate din acest tabel de proporționaliate.
14: 3,5 = 4 euro costă un kg de portocale
Aflați cât costă 4 kg de portocale.
4 · 4 = 16 euro costă 4 kg de portocale
9. Se consideră tabelul de mai jos ce reprezintă numărul de pungi de făină necesare pentru a face un tort, conform numărului de persoane.
|
Numărul de persoane |
14 |
21 |
35 |
|
Numărul de pungi de făină |
4 |
6 |
10 |
Studiind coeficientul definit de fiecare coloană a tabelului, stabiliți dacă acest tabel reprezintă o situație de proporționalitate.
14:4 = 3,5; 21:6 = 3,5; 35:10 = 3,5. Cu cât numărul de persoane crește, cu atât va fi nevoie de mai multe pungi de făină. Coeficientul de proporționalitate este identic deci mărimile sunt direct proporționale.
