Rapoarte și proporții

Șiruri de rapoarte egale

Șir de rapoarte egale

Tăietura de aur

Spirala lui Fibonacci

Trei sau mai multe rapoarte care au aceeași valoare formează un șir de rapoarte egale.

Exemplu:

\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{2}{4}\) = \(\frac{3}{6}\) = 0.5

Oricare dou ă rapoarte dintr-un șir de rapoarte egale formează o proporție.

\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{2}{4}\)

\(\frac{2}{4}\) = \(\frac{3}{6}\)

\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{3}{6}\)

Pentru un șir de rapoarte egale este valabilă expresia:

\(\frac{a ₁ }{b ₁ }\) = \(\frac{a ₂ }{b ₂ }\) = \(\frac{a ₃ }{b ₃ }\) = \(\frac{a ₁ + a ₂ + a ₃ }{b ₁ + b ₂ + b ₃ }\)

Exemplu:

\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{2}{4}\) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1 + 2 + 3}{2 + 4 + 6}\) = \(\frac{6}{12}\)

1. Scrieți un șir de trei rapoarte egale cu 0,(3)

Rezolvare

\(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{3}{9}\) = 0,(3)

2. Fie șirul de rapoarte egale \(\frac{x}{2}\) = \(\frac{y}{6}\) = \(\frac{z}{4}\) unde x, y, z sunt 3 numere naturale, iar x + y + z = 6. Află cele trei numere.

Rezolvare

\(\frac{x}{2}\) = \(\frac{y}{6}\) = \(\frac{z}{4}\) = \(\frac{x+y+z}{2+6+4}\) = \(\frac{6}{12}\) = \(\frac{1}{2}\)
‎
‎ \(\frac{x}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) ⇒ x = 1
‎
‎ \(\frac{y}{6}\) = \(\frac{1}{2}\) ⇒ y = 12
‎
‎ \(\frac{z}{4}\) = \(\frac{1}{2}\) ⇒ z = 8

3. Află termenii necunoscuți din șirul de rapoarte egale: \(\frac{x}{7}\) = \(\frac{2}{10}\) = \(\frac{y}{12}\)

Rezolvare

\(\frac{x}{7}\) = \(\frac{2}{10}\) ⇒ x = \(\frac{2·7}{10}\) = \(\frac{14}{10}\) = 1,4
‎
‎ \(\frac{2·12}{10}\) = \(\frac{24}{10}\) ⇒ y = \(\frac{24}{10}\) = 2,4