Rapoarte și proporții

Proporții derivate

Proportii derivate

Exerciti

Proporții și cârnați

Din proporția inițială :

putem obține alte proporții pe care le numim proporții derivate.

Proporții derivate cu aceiași termeni

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) schimb ăm extremii între ei \(\frac{d}{b}\) = \(\frac{c}{a}\)

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) schimb ăm mezii între ei \(\frac{a}{c}\) = \(\frac{b}{d}\)

\(\frac{b}{a}\) = \(\frac{d}{c}\) inversăm cele două rapoarte \(\frac{d}{b}\) = \(\frac{c}{a}\)

Exemple :

\(\frac{3}{4}\) = \(\frac{6}{8}\) schimb ăm extremii între ei \(\frac{8}{4}\) = \(\frac{6}{3}\)

\(\frac{3}{4}\) = \(\frac{6}{8}\) schimb ăm mezii între ei \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{4}{8}\)

\(\frac{3}{4}\) = \(\frac{6}{8}\) inversăm cele două rapoarte \(\frac{4}{3}\) = \(\frac{8}{6}\)

Proporții derivate cu termeni diferinți

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) Înmulțim ambii termeni ai unui raport cu același număr q≠0 \(\frac{a·q}{b·q}\) = \(\frac{c}{d}\); \(\frac{a }{b}\) = \(\frac{c·q}{d·q}\);

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) Înmulțim ambii numărători / numitori ai unui raport cu același număr q≠0 \(\frac{a·q}{b}\) = \(\frac{c·q }{d}\); \(\frac{a}{b·q}\) = \(\frac{c}{d·q}\);

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) Adunăm numitorii la numărători \(\frac{a+b}{b}\) = \(\frac{c+d}{d}\);

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) Adunăm numărătorii la numitori \(\frac{a}{b+a}\) = \(\frac{c}{d+c}\);

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) Scădem numitorii din numărători \(\frac{a-b}{b}\) = \(\frac{c-d}{d}\);

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{c}{d}\) Scădem numărătorii din numitori \(\frac{a}{b-a}\) = \(\frac{c}{d-c}\);

1. Dacă \(\frac{x}{y}\) = \(\frac{5}{7}\) atunci aflați cu cât este egal \(\frac{y}{x}\); x ≠ 0; y ≠ 0

Rezolvare

\(\frac{x}{y}\) = \(\frac{5}{7}\) ⇒ \(\frac{y}{x}\) = \(\frac{7}{5}\)

2. Dacă \(\frac{x}{15}\) = \(\frac{y}{13}\) , aflați \(\frac{x}{y}\) ; y ≠ 0.

Rezolvare

\(\frac{x}{15}\) = \(\frac{y}{13}\) ⇒ 13x = 15y ⇒ \(\frac{x}{y}\) = \(\frac{15}{13}\)

3. Știind că \(\frac{a-2b}{2a+b}\) = \(\frac{1}{5}\) aflați \(\frac{a}{b}\); b ≠ 0.

Rezolvare

\(\frac{a-2b}{2a+b}\) = \(\frac{1}{5}\) ⇒ 5(a-2b) = 2a + b ⇒ 5a – 10b = 2a + b ⇒ 3a = 11b ⇒ \(\frac{a}{b}\) = \(\frac{11}{3}\)

4. Suma a două numere este 70 iar raportul lor este \(\frac{2}{5}\). Care sunt aceste numere?

Rezolvare

a + b = 70; \(\frac{a}{b}\) = \(\frac{2}{5}\)
‎ Scriem o propor ție derivată prin adunarea numitorului la numărător :
‎ \(\frac{a+b}{b}\) = \(\frac{2+5}{5}\)
‎ \(\frac{70}{b}\) = \(\frac{7}{5}\)
‎ b = \(\frac{70·5}{7}\) = 10·5 = 50
‎ a = 20
‎ Proba:

a+b = 50+20 = 70
‎ \(\frac{a}{b}\) = \(\frac{20}{50}\) = \(\frac{2}{5}\)

5. În compoziția de mai jos, artistul dorește să plaseze arborele astfel încât raportul dintre segmentul AB și BC să fie \(\frac{3}{5}\). Stiind că lățimea tabloului AC este de 80cm aflați lungimea segmentului AB notată în figură cu x.

Rezolvare

x + BC = 80; \(\frac{x}{BC}\) = \(\frac{3}{5}\)
‎ Scriem o propor ție derivată prin adunarea numărătorului la numitor :
‎ \(\frac{x}{BC + x}\) = \(\frac{3}{5+3}\)
‎ \(\frac{x}{80}\) = \(\frac{3}{8}\)
‎ x = \(\frac{80·3}{8}\) = 10·3 = 30