Mulțimi

Proprietăți ale divizibilității

Oricare ar fi a și b două numere naturale, este adevărată relația:

a · b = (a,b) · [a,b]

Exemplu:

a = 12, b = 45
‎ a = 2 ² · 3
‎ b = 3 ² · 5
‎ (a, b) = (12, 45) = 3
‎ [a, b] = [12, 45] = 2 ² · 3 ² · 5 = 180
‎ a · b = (a,b) · [a,b] adică 12 · 45 = 3 · 180 = 540

Două numere naturale sunt prime între ele dacă c.m.m.d.c. al lor este 1, adică: a și b sunt prime între ele (a,b) = 1.

Oricare număr natural a este divizibil cu 1 și cu el însuși.

1|a, oricare ar fi numărul natural a.

a|a, oricare ar fi numărul natural a.

a ⋮ b și b ⋮ a  a = b, unde a, b  ℕ

c|b și b|a  c|a, unde a, b, c  ℕ

Dacă numerele naturale a și b, sunt divizibile la d, atunci și suma lor este divizibilă la d.

Dacă numerele naturale a și b, sunt divizibile la d, atunci și diferența lor este divizibilă la d.

d|b și d|a  d|(a  b), d,a,b  ℕ

Dacă a, b, c sunt numere naturale nenule și a divide produsul bc, iar a este prim cu b, atunci a divide c.

a|(b · c) și (a, b) = 1 ⟹ a|c, a, b, c  ℕ.

Dacă a, b și d sunt numere naturale, astfel încât :

 d divide a + b sau d divide a – b

 a  b

 d divide un termen al sumei sau al diferenței

atunci d divide și celălalt termen.

1. Să se arate că 7|35 folosind faptul că 35 = 14 + 21.

Rezolvare

35 = 14 + 21
‎ 7|14 și 7|21 => 7|(14+21) => 7|35

2. Să se determine numărul de divizori al numărului 36

Rezolvare

36 are 9 divizori, 7 divizori proprii și doi improprii.