Mulțimi

Noțiunea de mulțime

O mulțime este o colecție de obiecte oarecare puse laolaltă.

Exemple:

 mulțimea elevilor dintr-o clasă

 mulțimea planetelor din sistemul solar

 mulțimea stelelor din sistemul solar

 mulțimea ideilor despre cum putem rezolva o problemă

 mulțimea paginilor dintr-o carte

 mulțimea unicornilor de pe pământ

 mulțimea cifrelor din baza 10

 mulțimea numerelor naturale

 mulțimea numerelor pare

Obiectele din care este formată o mulțime se numesc elementele mulțimii .

Elementele unei mulțimi sunt distincte.

Într-o mulțime, ordinea elementelor nu este importantă. De exemplu mulțimea A = {1,2,3,4} se mai poate scrie și ca A = { 3,4,2,1}.

Mul țimile se pot reprezenta în următoarele moduri :

1. Prin scrierea elementelor ei între acolade :

A = {1,2,3,4}

2. Prin specificarea proprietăților caracteristice elementelor care o formează :

A = "Numerele naturale pare mai mici decât 10"

sau

A = {x|x este par și x < 10 }

3. Prin diagrame Venn-Euler

Mul țimile A = {1,2,3} și B = {4,5,6} se mai pot reprezenta astfel:

Dacă un element se regăsește într-o mulțime spunem că aparține acelei mulțimi.

Exemplu :

Dacă elementul 1 aparține mulțimii A scriem: 1 ∈ A

Dacă elementul 8 nu aparține la mulțimea A scriem: 8 ∉ A

Cardinalul unei mulțimi reprezintă numărul elementelor acelei mulțimi.

Cardinalul mulțimii A = {1,2,3} este 3 scriem card A = 3

Cardinalul mulțimii B = {4,5,6,7} este 4 scriem card B = 4

Mulțimea fără elemente se numește mulțimea vidă și se notează cu litera grecească ∅ [fi].

Mulțimile pot fi finite dacă numărul elementelor lor este finit, limitat și mulțimi infinite dacă are un număr nelimitat, nesfârșit de elemente.

Exemple:

Mulțimea A = {1,2,3} este finită.

Mulțimea numerelor naturale este infinită.

Mulțimea numerelor naturale pare este infinită.

Exerciții

1. Scrieți explicit mulțimea M = {x | x ∈ N, n ∈ N, x = 2 ⁿ , x ≤ 150}

Rezolvare

M = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128}

2. Scrieți mulțimea D ₃₆ .

Rezolvare

D ₃₆ = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36}

3. Scrieți explicit: M = { x| x ∈ N, x ∈ M ₄ , x ≤ 47}

Rezolvare

M = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44}

4. Enumerați elementele mulțimii: A = {x| x ∈ N, x număr par cuprins între 3 și 13}

Rezolvare

A={ 4, 6, 8, 10, 12}

5. Formați o mulțime I cu numerele impare și o mulțime P cu numerele pare din următorul șir de numere: 1,5, 21 ,6 ,2 ,7 ,8 ,14 ,75 ,134 ,7432 ,65 ,13

Rezolvare

I = {1, 5, 21, 7, 75, 65, 13}
‎ P = {6, 2, 8, 14, 134, 7432}

6. Scrieți mulțimea A = {2, 4, 8, 16, 32, 64} folosind o proprietate caracteristică a elementelor sale.

Rezolvare

A = { 2 ⁿ | n ∈ N , 1 ≤ n ≤ 6}