Numere naturale Împărțirea
Selecție de lecții videoÎmpărțirea numerelor naturale
Pentru a efectua o împărțire fără rest a două numere naturale, împărțim deîmpărțitul la împărțitor și obținem câtul .
Împărțitorul nu poate fi zero.
Proba împărțirii se poate face în două moduri :
Există împărțiri care au rest.
Important: Restul este întotdeauna mai mic decât împărțitorul.
În cazul în care împărțirea are rest, proba se face astfel :
Teorema împărțirii cu rest
Pentru orice două numere naturale a și b, cu b ≠ 0, există și sunt unice numerele naturale c și r, astfel încât:
a = b ⋅ c + r și r < b.
Scriem: a : b = c, rest r. Operația prin care se obțin numerele c și r se numește împărțirea cu rest a lui a la b. Numărul natural a se numește deîmpărțit, b se numește împărțitor, c se numește cât, iar r se numește rest.
Ordinea efectuării operațiilor matematice
Dacă într-un exercițiu apar adunări, scăderi, înmulțiri și împărțiri, efectuăm mai întâi înmulțirile și împărțirile, iar apoi adunările și scăderile de la stânga la dreapta.
Folosirea parantezelor
Dacă într-un exercițiu sunt folosite paranteze rotunde, paranteze pătrate și acolade, atunci efectuăm întâi operațiile din parantezele rotunde, după care pe cele din parantezele pătrate, apoi operațiile din acolade, iar la final efectuăm restul operațiilor de la stânga la dreapta.
1. Efectuați următoarele împărțiri :
6 587 : 7 =
249 262 : 26 =
12 805 : 13 =
41 200 : 25 =
268 732 : 46 : 2 =
2 769 228 : 324 =
3 617 736 : 102 =
6 587 : 7 = 941
249 262 : 26 = 9 587
12 805 : 13 = 985
41 200 : 25 = 1 648
268 732 : 46 : 2 = 5 842 : 2 = 2 921
2 769 228 : 324 = 8 547
3 617 736 : 102 = 35 468
2.
Dorel trebuie să plătească pentru ATV-ul pe care dorește să-l cumpere, suma de 28 200lei. De la bancomatul cel mai apropiat el poate extrage doar bancnote de 100 lei. Câte astfel de bancnote va plăti?
Dar dacă bancomantul îi dă doar bancnote de 200 lei?
28 200 : 100 = 282
28 200 : 200 = 141
3. Recolta de fructe de mango de anul acesta pe o plantație este de 15 000 de bucăți. Fermierul vrea să le ambaleze în lădițe de 50 de bucăți fiecare. De câte lăzi are nevoie acesta? Dar dacă lădițele ar conține 40 de bucăți?
15 000 : 50 = 300
15 000 : 40 = 375
4. Știind că sfertul dublului unui număr este egal cu 1 000, determină numărul.
Luăm un număr N. Dublul său este 2 · N. Sfertul dublului este (2 · N)
: 4
(2 · N)
: 4 = 1 000
atunci dublul num
ărului
este
2 · N
= 1 000
· 4.
2 · N
= 4 000
Dacă dublul numărului este 4000 atunci numărul este 4 000 : 2 = 2 000
N = 2 000
5. Ana se gândește la un număr. Știind că sfertul acelui număr este cu 50 mai mic decât jumătatea lui 5620, aflați numărul.
5 620 : 2 = 2 810
2 810 – 50 = 2 760 (sfertul)
2 760 · 4 = 11 040
6. Calculați : {5 545 – [6300 – 25 · 72 + 150 : (300 - 285) ]} : {[630 : 30 : 3 – 2] · 9 } = ?
Voi colora cu albastru operațiile care urmează a fi efectuate
:
{5 545 – [6300 –
25 · 72
+ 150 : (
300 – 285
)
]} : [(
630 : 30
: 3 – 2)
· 9
] =
[5 545 – (630
0 – 1800
+
150 : 15
)] : [(
21 : 3
– 2)
· 9
] =
[5 545 – (
6300 – 1800
+ 10
)] : [(
7 – 2
)
· 9
] =
[5 545 – (
4 500 + 10
)] : (
5 · 9
) =
(5 545 – 4 510) : 45 = 1035 : 45 = 23
7. Suma a trei numere naturale consecutive este 24. Care sunt numerele?
Scriem cele trei numere ca: a, a+1, a+2
a + a+1 + a+2 = 24
3a + 3 = 24
3a = 21
a = 21 : 3 = 7 care este primul număr din cele trei.
Numerele sunt 7; 8; 9
8. Efectuați calculele respectând ordinea operațiilor:
a) (48 · 4) : (6 + 9) =
b) (2 022 : 337 + 1994) : [125 · 21 120 : (2023 – 703)] =
c) 235 000 : {(5157 : 27) + [(95 526 + 71937) : ( 93 136 – 92 929)]} =
d) 74 · 502 – 37 148 : (100 073 – 99 999) =
a) (
48
· 4 · 17
)
: (
8 + 9
) = 3264 : 17 = 192 sau, probabil mai simplu:
(48
· 4 · 17)
: (
8 + 9
) = 48
· 4 ·
17
:
17
= 48
· 4 = 192
b) (
2 022 : 337
+ 1994) : [125
· 21 120 :
(2023 – 703)
] = (
6 + 1994
) : (125 ·
21 120 : 1320
) = 2000 : (
125 · 16
) = 2000 : 2000 = 1
c) 235 000 : {(
5157 : 27
) + [(
95 526 + 71937
) : (
93 136 – 92 929
)]} = 235 000 : [191 + (
167 463 : 207
)] = 235 000 : (
191 + 809
) = 235 000 : 1000 = 235
d)
74
· 502
– 37 148 : (
100 073 – 99 999
) =
37 148 – 37 148 : 74 = 502
9.
Miraculosul număr 37
Care
din împărțirile de mai jos au rezultatul 37?
111 : (1 + 1 + 1) =
222 : (2 + 2 + 2) =
333 : (3 + 3 + 3) =
888 : (8 + 8 + 8) =
999 : (9 + 9 + 9) =
Găsiți voi și alte exemple!
111 : 3 = 37
222 : 6 = 37
333 : 9 = 37
888 : 24 = 37
999 : 27 =37
Împărțirea cu rest
10.
Efectuați următoarele împărțiri cu rest:
a) 7 613
:
9 =
b) 35 485
:
15 =
c) 27 463 : 45 =
d) 361 352 : 56 =
e) 617 467 : 652 =
a) 7 613
:
9 = 845 rest 8
b) 35 485
:
15 = 2 365 rest 10
c) 27 463 : 45 = 610 rest 13
d) 361 352 : 56 = 6 452 rest 40
e) 617 467 : 652 = 947 rest 23
11. Aflați câtul și restul împărțirii și apoi faceți proba împărțirii cu rest.
a) 18 923
:
62 =
b) 970
:
136 =
c) 155 955 : 351 =
a) 18 923
:
62 = 305 rest 13 Proba: 305 · 62 + 13 = 18 923
b) 970 : 136 = 7 rest 18 Proba: 136 · 7 + 18 = 970
c) 155 955 : 351 = 444 rest 111 Proba: 444 · 351 + 111 = 155 955
12. Rezolvați respectând ordinea operațiilor.
a) 34 385 : (299 : 23) – (34 385 : 299) : 23 =
b) (375 446 + 32 510) : (1 845 : 15 – 44) · 17 – 5164 · 17 =
c) {[(54 + 23) · (89 + 92) – 4 545 : 5 ] · [21 + 32 · 5] – 167} : 13 : 63 =
a) 34 385 : (
299 : 23
) – (34 385
: 299
) : 23 =
34 385 : 13
– 115 : 23 =
2 645 – 5
= 2 640
.
b) (
375 446 + 32 510
) : (
1 845 : 15
– 44) · 17 – 5164 · 17 =
407 956 : (
123 – 44
) · 17 – 5164 · 17 =
407 956 : 79
· 17 – 5 164 · 17 = 5 164 · 17 – 5164 · 17 = 0
.
c)
{[(
54 + 23
)
· (
89 + 92
) –
4 545 : 5
]
· [21 +
32 · 5
] – 167} :
13 :
63
=
[(
77 · 181
– 909)
· (
21 + 160
) – 167] :
13 :
63
=
[(
13 937 – 909
)
· 181 – 167] :
13 :
63
=
(
13 028 · 181
– 167) :
13 : 63 =
(
2 358 068 – 167
) :
13 : 63 =
2 357 901 : 13
: 63 =
181 377 : 63
= 2 879
13. Determinați toate numerele care împărțite la 3 dau câtul 5.
Restul este mai mic decât împărțitorul
:
D = 3 · 5 + r
D = 15 + r, unde r este un număr natural, mai mic decât 3.
D = 15, 16 sau 17
15 : 3 = 5 rest 0
16 : 3 = 5 rest 1
17 : 3 = 5 rest 2
14. Un număr natural N se împarte la 13 și rezultă un cât și un rest R1. Ce puteți spune despre restul R2 al împărțirii lui N + 10 la 13? Cum este R1 diferit de R2?
Prima dată să luăm câteva exemple:
27 : 13 = 2 rest 1
(27 + 10) : 13 = 37 : 13 = 2 rest 11
Observăm că restul s-a mărit cu 10
adică
R2
=
R1
+ 10.
20 : 13 = 1 rest 7
(20 + 10) : 13 = 30 : 13 = 2 rest 4
Luați și voi alte exemple!
Știm că restul trebuie să fie mai mic împărțitorul.
Dacă
R1
+ 10
< 13 atunci se adună 10 la rest
adică noul rest va fi
R1
= (
R1
+ 10).
Dar dacă
R1
+
10 ≥ 13 atunci se adună 1 la cât și se scade
13 din (
R1
+10). Noul rest va fi
R2
= (
R1
+ 10 – 13) =
R1
– 3
15. Un fermier numără ouăle produse de găini în ziua curentă. El numără 807. El dorește să le transporte la supermarket în cartoane de ouă ca în imaginea de mai jos.
a) Câte cartoane de ouă complete poate duce fermierul la supermarket?
b) De câte ouă ar mai avea nevoie pentru a se duce la supermarket cu 70 de cartoane? Rezolvați punctul b în două moduri.
a) 807 : 12 = 67 rest 3
Fermierul are 67 cartoate complete cu câte 12 ouă fiecare și
îi
mai rămân 3 ouă neambalate.
b) Metoda 1: De la 67 până la 70 de cartoane mai trebuie trei cartoane dintre care două complete și încă unul de completat cu 12 – 3 = 9 ouă.
2 · 12 + 9 = 24 + 9 = 33. Fermierul mai are nevoie de 33 de ouă pentru a putea forma 70 de cartoane a câte 12 ouă fiecare.
b) Metoda 2
:
70 · 12 = 840
840 – 807 = 33
16. La un fabrică de asamblat biciclete de cascadorii denumite și BMX, se dorește trecerea de la roți cu 36 de spițe la roți cu 32 de spițe. În depozit sunt acum 4 cutii de câte 1000 de spițe dar dintr-o cutie lipsesc 76 buc.
Câte biciclete ar fi putut fi echipate cu câte două roți de 36 de spițe și câte vor putea fi echipate de acum luând în considerare modificarea propusă?
Spițe disponibile: 1000
· 4 – 76 = 4000 – 76 = 3924
3924 : 36 = 109 rest 0
3924 : 32 = 122 rest 20
17. Care este cel mai mare număr care se împarte exact la 179 dar este mai mic de 2736?
15 · 179 = 2685 este cel mai mare număr mai mic decât 2736 care se împarte exact la 179.
18. Calculați :
a) (1 + 2 + 3 + … + 1000) : 25
b) [(17 + 119) · 2 · 3] : (17 · 8 · 3) =
c) [(1 + 2 + … + 50) · 234] : [(2 + 4 + ... + 100) · 39] =
a)
Calculăm suma Gauss
: 1 + 2 + 3 + … + 1000 = 1000
· (1000 + 1) : 2 = 500 · 1001 = 500 500; 500 500 : 25 = 20 020
b)
[(
17 + 119
)
· 2 · 3] : (17 · 8 · 3) = (
136
· 2 · 3) : (17 · 2 · 4 · 3) = (
17
· 8
· 2 · 3) : (17 · 2 · 4 · 3) = 8 : 4 = 2
c) Calculăm sumele Gauss 1 + 2 + ... + 50 = 50 · 51
: 2 = 25
· 51 = 1 275
2 + 4 + ... + 100 = 2 · (1 + 2 + ... + 50) = 2 · 1 275
(1 275 ·
234
) : (2 · 1275 · 39) = (1275 ·
6 · 39
) : (2 · 1275 · 39) = (1275 ·
2 · 3 · 39
) : (2 · 1275 · 39) = 3
19. O școală din oraș are în total 2 334 de elevi din care jumătate vin din comunele și satele din apropierea orașului. Elevii sunt aduși din afara orașului cu microbuze care au 16 locuri în total, inclusiv șoferul. Dacă sunt șase microbuze disponibile câte curse trebuie să facă un microbuz dacă toate microbuzele vin pline mai puțin ultimul și cele șase microbuze efectuează un număr egal de curse fiecare?
Numărul de elevi care trebuie aduși din afara orașului este 2 334 : 2 = 1 167
Numărul de elevi dintr-un microbuz este 16 – 1 = 15 pentru că am exclus șoferul.
1 167 : 15 = 77 rest 12, microbuzele trebuie să facă în total 77 de curse cu microbuzul plin și încă o cursă cu doar 12 elevi. În total 78 de curse pentru 6 microbuze.
78 : 6 = 13 curse pentru fiecare microbuz.
20. Se știe că distanța dintre Pământ și Soare variază de-a lungul anului. În cele ce urmează o să considerăm că distanța medie dintre Pământ și Soare este de aproximativ 149 700 000 km. Dacă lumina care pleacă de la suprafața Soarelui se apropie de Pământ cu 300 000 km în fiecare secundă, aflați în câte minute și secunde ajunge la noi.
*Distanța de la Pâmănt la Soare este considerată o unitate de măsură astronimică denumită “ au” sau “ ua” de la Unitate Astronomica iar valoarea ei precisă este 149 597 870 700 m.
149 700 000 : 300 000 = 499 secunde
Aflăm numărul de minute întregi
: 499 : 60 = 8 rest 19
Lumina ajunge de la Soare la Pământ în aprox. 8 minute și 19 secunde.
21. La o fabric ă de biscuiți se ambalează 20 de biscuiți într-un pachet. Un bax de pachete de biscuiți conține 70 de pachete iar din depozit au plecat 100 de baxuri. Dacă biscuiții trebuie distribuiți în mod egal la 35 de magazine, câte pachete de biscuiți revine fiecărui magazin? Dacă un pachet de biscuiți costă 12 lei și 60 bani cât costă un singur biscuite?
70 · 100
: 35 =
35 · 2 · 100
: 35 =
200
Răspuns: 200 de pachete a câte 20 de biscuiți fiecare.
Transformăm prețul unui pachet de biscuiți în bani: 12 lei
și 60 bani = 1 260 bani
1260
: 20 = 63 bani pentru fiecare biscuite.
